논리학 2강. 술어논리와 양화사

명제논리는 "소크라테스는 죽는다"의 속을 못 봅니다. 술어논리가 문장을 열어 주어와 술어를 꺼내죠.

풀고 시작

명제논리의 한계

1강의 도구로 저 유명한 논증을 분석해 볼까요? "모든 인간은 죽는다(P). 소크라테스는 인간이다(Q). 따라서 소크라테스는 죽는다(R)." 그런데 이상한 일이 벌어집니다. 명제논리로는 P, Q, R이 세 개의 무관한 문자일 뿐이라 결론이 도출되지 않습니다. 논리학의 간판 논증을 논리학이 처리하지 못하는 상황이죠. 문장 안의 구조(누가, 어떤 성질을)를 볼 도구가 필요합니다. 프레게가 1879년 『개념표기법』에서 이 도구를 만들었고, 이것이 현대 논리학의 출생신고입니다.

술어와 양화사

새 도구는 세 가지 부품으로 이루어집니다.

• 술어(predicate)는 성질이나 관계를 나타냅니다. "x는 인간이다"를 H(x), "x는 죽는다"를 M(x)로 쓰죠.
• 보편 양화사 ∀는 "모든 x에 대하여"를 뜻합니다. ∀x(H(x) → M(x))는 "인간인 모든 것은 죽는다"가 되죠.
• 존재 양화사 ∃는 "어떤 x가 존재하여"를 뜻합니다. ∃x(H(x) ∧ ¬M(x))는 "죽지 않는 인간이 있다"가 됩니다.

소크라테스 논증은 이제 도출됩니다. ∀x(H(x)→M(x))와 H(s)에서 M(s)가 기계적으로 나오죠.

한 가지 주의하세요. "모든"은 →와 짝이 되고("인간이라면 죽는다"), "어떤"은 ∧와 짝이 됩니다("인간이면서 안 죽는 것이 있다"). 이 짝을 바꿔 쓰는 것이 초심자의 대표 실수입니다.

양화사의 순서가 세계를 바꾼다

기호 두 개의 자리만 바꿨을 뿐인데 세계가 완전히 달라지는 경우가 있습니다. ∀x∃y L(x,y)는 "모든 x에게 각자 사랑하는 y가 있다"입니다(각자 다른 상대여도 되죠). 반면 ∃y∀x L(x,y)는 "어떤 한 y가 있어 모든 x가 그를 사랑한다", 즉 전 인류의 단일 연인이 존재한다는 뜻이 됩니다.

수학의 "모든 수보다 큰 수는 없다 / 어떤 수보다 큰 수는 항상 있다", 일상의 "모든 문제에는 원인이 있다 / 모든 문제의 단일 원인이 있다"(음모론의 문법)가 전부 이 구분입니다. 철학 논증의 오류 상당수가 양화사 순서 바꿔치기에서 나오죠.

부정과 양화사

¬∀x P(x) = ∃x ¬P(x)입니다. "모두가 착한 것은 아니다"는 "안 착한 누군가가 있다"와 같죠. 그리고 ¬∃x P(x) = ∀x ¬P(x)입니다. "귀신은 없다"는 "모든 것은 귀신이 아니다"와 같습니다. 정리하면 이렇습니다. 부정이 양화사를 통과하면 ∀와 ∃가 뒤집힙니다.

인출 문제

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