논리학 1강. 명제논리와 진리표
논리학은 문장의 내용을 지우고 뼈대만 남깁니다. 뼈대의 참·거짓 계산법이 진리표입니다.
풀고 시작
명제란 무엇인가
"문 닫아라"와 "서울은 한국의 수도다", 이 둘의 결정적 차이는 무엇일까요? 참·거짓을 물을 수 있느냐입니다. 명제(proposition)는 참이거나 거짓인 문장입니다. "서울은 한국의 수도다"는 명제죠. "문 닫아라"(명령)와 "몇 시야?"(질문)는 명제가 아닙니다. 그런데 논리학은 명제의 내용에는 관심이 없습니다. P, Q 같은 기호로 바꾸고 명제들을 잇는 연결 방식만 보죠.
다섯 개의 연결사
| 기호 | 이름 | 읽기 | 참이 되는 조건 |
|---|---|---|---|
| ¬P | 부정 | P가 아니다 | P가 거짓일 때 |
| P ∧ Q | 연언 | P 그리고 Q | 둘 다 참일 때만 |
| P ∨ Q | 선언 | P 또는 Q | 적어도 하나가 참일 때 |
| P → Q | 조건 | P라면 Q | P가 참인데 Q가 거짓인 경우만 빼고 전부 |
| P ↔ Q | 쌍조건 | P인 것과 Q인 것은 같다 | 둘의 진리값이 같을 때 |
여기서 주의할 점이 있습니다. 논리학의 "또는"(∨)은 둘 다 참이어도 참인 포괄적 또는입니다. 일상어의 "짜장 아니면 짬뽕"(둘 중 하나만)과 다르죠.
조건문의 함정
P → Q는 P가 거짓이면 Q와 무관하게 참입니다. 왜 이런 이상한 규약을 둘까요? 조건문을 약속으로 이해하면 풀립니다. "비가 오면 우산을 가져가겠다"는 약속은 비가 안 온 날에는 깨질 방법이 없습니다. 깨지지 않은 약속은 지켜진 것으로 치는 것이죠. 조건문이 거짓이 되는 경우는 단 하나, 전제가 참인데 결론이 거짓일 때뿐입니다.
진리표: 참·거짓의 계산기
진리표(truth table)는 명제 변수의 모든 참·거짓 조합에서 전체 문장의 값을 기계적으로 계산합니다. 변수가 n개면 행은 2ⁿ개가 되죠. 이 진리표를 돌려 보면 명제가 세 부류로 갈립니다.
- 항진명제(tautology)는 모든 행에서 참입니다. P ∨ ¬P ("비가 오거나 안 온다")가 그 예죠.
- 모순명제(contradiction)는 모든 행에서 거짓입니다. P ∧ ¬P가 그 예입니다.
- 우연명제(contingency)는 행에 따라 갈립니다. 세계가 어떤지 봐야 알 수 있죠.
그런데 흥미로운 사실이 하나 있습니다. 항진명제는 세계에 대해 아무것도 알려주지 않습니다. 정보가 없어서 항상 참인 것이죠. 이 통찰이 나중에 비트겐슈타인의 『논리철학논고』에서 논리학 전체의 지위를 규정합니다.
인출 문제
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