상대성이론 2강. 시공간: 시간 지연과 E=mc²
움직이는 시계는 느리게 가고 움직이는 자는 짧아집니다. 이것은 착시가 아니라, 뮤온이 매초 우리 머리 위로 증명하는 사실입니다.
풀고 시작
시간 지연과 길이 수축
광속 불변을 받아들이면 시간 지연은 피할 수 없는 논리적 귀결입니다. 빛 시계를 상상해 보시죠. 바닥과 천장의 거울 사이를 빛이 왕복하며 째깍거립니다. 이 시계가 옆으로 달리면, 밖에서 보기에 빛은 수직이 아니라 대각선의 더 긴 경로를 그립니다. 광속은 여전히 c이므로 한 번 째깍하는 데 더 오래 걸리죠. 움직이는 시계는 느리게 갑니다. 지연 배율은 로런츠 인자 γ = 1/√(1 − v²/c²)로, 광속의 87%에서 시간은 절반 속도로 흐릅니다. 같은 논리로 움직이는 물체는 진행 방향으로 1/γ만큼 짧아집니다. 이것이 길이 수축입니다.
그런데 이것이 사고실험 속 이야기만은 아닙니다. 지금 이 순간에도 증거가 여러분 머리 위로 쏟아지고 있거든요. 우주선(cosmic ray)이 대기 상층에서 만드는 입자 뮤온(muon)의 수명은 정지 상태에서 약 2.2마이크로초입니다. 광속에 가깝게 달려도 그 수명 동안 약 660m밖에 못 가므로, 고도 10km에서 생긴 뮤온은 지표에 도달하기 전에 거의 다 붕괴해야 합니다. 그런데 지표 검출기에는 뮤온이 쏟아집니다. 지상의 관점에서는 뮤온의 시간이 느리게 흘러 수명이 늘어났기 때문이고, 뮤온의 관점에서는 대기의 두께가 수축해 짧아졌기 때문이죠. 두 설명은 같은 사실의 두 번역이며, 1941년 로시(Bruno Rossi)와 홀(David Hall)의 측정 이래 정밀하게 확인되어 왔습니다.
쌍둥이 역설: 대칭이 깨지는 곳
여기서 곤란한 문제가 하나 생깁니다. 시간 지연은 상호적이라는 점입니다. 내가 보기에 상대의 시계가 느리면, 상대가 보기에는 내 시계가 느립니다. 그래서 쌍둥이 역설이 생기죠. 동생이 광속의 87%로 왕복 여행을 하면 형은 동생이 늙지 않았다고 하고, 동생도 형이 늙지 않았다고 해야 할 것 같습니다. 누가 옳을까요.
해소의 열쇠는 비대칭입니다. 형은 여행 내내 하나의 관성계에 머물렀지만, 동생은 반환점에서 감속하고 방향을 바꾸는 가속을 겪었습니다. 특수상대성이 보장하는 관점의 동등성은 관성계 사이에서만 성립하므로, 두 사람의 이력은 물리적으로 구별됩니다. 계산 결과는 관점과 무관하게 하나입니다. 돌아온 동생이 더 젊습니다. 1971년 하펠(Joseph Hafele)과 키팅(Richard Keating)은 세슘 원자시계를 여객기에 태워 지구를 돌게 한 뒤 지상 시계와 비교해, 상대론이 예측한 나노초 단위의 차이를 실측했습니다.
민코프스키: 시간과 공간의 결혼
1908년, 아인슈타인의 옛 수학 교수 민코프스키(Hermann Minkowski)가 이 모든 결과를 하나의 기하학으로 통합합니다. "이제 공간 자체와 시간 자체는 그림자로 사라지고, 둘의 결합만이 독립된 실재로 남을 것이다"라는 강연 선언과 함께였죠. 관찰자마다 시간 간격과 공간 간격은 다르게 재지만, 시공간 간격 s² = (ct)² − x²은 모든 관성계에서 같습니다. 마치 지도를 돌리면 동서 거리와 남북 거리는 달라져도 직선거리는 불변인 것과 같습니다. 시간과 공간은 4차원 시공간(spacetime)을 관찰자마다 다르게 썰어낸 단면인 것이죠. 재미있게도 아인슈타인은 처음에 이를 "불필요한 학식"이라며 시큰둥해했지만, 이 기하학 없이는 일반상대성이론(다음 강)에 도달할 수 없었습니다.
E=mc²: 질량은 에너지의 한 형태다
1905년의 짧은 후속 논문에서 아인슈타인은 물리학에서 가장 유명한 식을 유도합니다. E = mc². 물체가 빛을 방출하면 그만큼 질량이 줄어든다는 분석에서 나온 결론으로, 질량은 에너지와 별개의 실체가 아니라 에너지의 한 형태라는 뜻입니다. c²이라는 거대한 환율(약 9×10¹⁶ J/kg) 때문에 1g의 질량은 대도시가 쓸 만한 에너지에 해당하죠. 태양이 빛나는 것은 수소 핵융합으로 매초 약 400만 톤의 질량을 에너지로 바꾸기 때문이고, 원자핵의 결합 에너지 차이가 원자력의 원천입니다. 거꾸로 입자가속기에서는 운동 에너지가 새 입자의 질량으로 바뀝니다. 질량 보존과 에너지 보존이라는 두 법칙은 이렇게 하나의 법칙으로 통합됐습니다.
인출 문제
생각해볼 질문 (정답 없음)
- 민코프스키 시공간에서 과거, 현재, 미래가 이미 모두 "놓여 있다"면, 시간이 흐른다는 우리의 느낌은 무엇에 대한 느낌일까요.