역학 3강. 만유인력: 하늘과 땅의 통일
사과를 떨어뜨리는 힘과 달을 붙잡아 두는 힘이 같은 힘이라는 한 문장이, 하늘의 물리학과 땅의 물리학을 하나로 만들었습니다.
풀고 시작
사과와 달: 하나의 낙하
1660년대의 젊은 뉴턴이 정원에서 사과가 떨어지는 것을 보고 달을 생각했다는 이야기, 후대의 각색 같지만 사실은 노년의 뉴턴 자신이 전기 작가 스터클리에게 들려준 회고에 남아 있습니다. 물론 만유인력이 그 순간 완성된 것은 아니고, 착상의 핵심은 이렇습니다. 사과를 당기는 지구의 힘이 나무 꼭대기에서도, 산꼭대기에서도 작용한다면, 달의 높이라고 끊길 이유가 있을까요? 그렇다면 달은 힘을 안 받는 것이 아니라 끝없이 지구로 떨어지는 중입니다. 뉴턴은 계산으로 이를 확인했습니다. 달까지 거리는 지구 반지름의 약 60배인데, 달 궤도의 구심 가속도는 지표의 g의 약 1/3600, 정확히 60²분의 1입니다. 낙하하는 사과와 공전하는 달이 거리 제곱에 반비례하는 같은 힘의 두 얼굴로 포개진 것이죠. 천상계와 지상계를 갈랐던 아리스토텔레스의 벽이 이 계산 하나로 무너졌습니다.
역제곱 법칙과 케플러의 세 법칙
만유인력 법칙은 이렇게 씁니다. 질량 m₁, m₂인 두 물체는 거리 r일 때 F = Gm₁m₂/r²의 힘으로 서로 당깁니다. 모든 질량이, 서로를, 항상 당긴다는 뜻에서 만유(universal)입니다. 이 법칙의 첫 시험대는 케플러가 티코 브라헤의 관측 자료에서 뽑아낸 세 경험 법칙이었습니다. 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원을 돌고(1법칙), 같은 시간에 같은 넓이를 쓸며(2법칙), 공전주기의 제곱은 궤도 긴반지름의 세제곱에 비례합니다(3법칙, T² ∝ a³). 케플러에게 이것은 이유를 모르는 규칙성이었죠. 뉴턴은 프린키피아에서 역제곱 인력을 가정하면 세 법칙이 모두 연역됨을 증명했습니다. 특히 2법칙은 다음 강들에서 다룰 각운동량 보존과 같은 내용이고, 역제곱이 아니면 닫힌 타원 궤도가 일반적으로 나오지 않습니다. 관측된 규칙이 하나의 힘 법칙에서 흘러나오는 순간, 규칙성은 비로소 설명이 되었습니다.
캐번디시, 지구의 무게를 재다
그런데 법칙 속의 상수 G는 뉴턴 생전에 값이 없었습니다. 천문 관측은 G와 천체 질량의 곱만 알려 주기 때문입니다. 1798년 캐번디시가 비틀림 저울로 이 마지막 칸을 채웁니다. 막대 양 끝에 작은 납공을 달아 가는 줄에 매달고, 큰 납공을 가까이 두어 그 사이의 미세한 인력이 줄을 비트는 각도를 쟀습니다. 힘의 크기는 공 무게의 수천만분의 1 수준이라, 공기 흐름을 막으려고 장치를 밀폐하고 망원경으로 밖에서 읽었죠. 이 실험으로 지구의 평균 밀도가 물의 약 5.4배로 측정되었고, 지구 전체의 질량, 곧 흔히 말하는 지구의 무게 재기가 완성되었습니다. 오늘의 값 G ≈ 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²과 1% 수준에서 일치하는 정밀도였습니다. 지구 질량이 정해지자 태양과 행성들의 질량도 궤도 관측에서 줄줄이 따라 나왔습니다. 실험실 책상 위의 납공 두 개가 태양계 전체의 저울이 된 셈이죠.
해왕성: 종이 끝에서 발견된 행성
이론의 힘을 보여 준 최고의 장면은 1846년에 옵니다. 천왕성의 실제 궤도가 뉴턴 이론의 예측에서 미세하게 벗어나 있었습니다. 프랑스의 르베리에는 이 어긋남이 바깥의 미지 행성 탓이라 보고, 만유인력만으로 그 행성의 위치를 역산해 베를린 천문대에 편지를 보냈습니다. 갈레는 편지를 받은 그날 밤 예측 지점에서 1도 이내에서 새 행성, 해왕성을 찾았습니다. 영국의 애덤스도 독립적으로 비슷한 계산을 했음이 뒤에 알려졌죠. 망원경이 아니라 펜 끝으로 행성을 발견한 이 사건은 이론 과학의 위력을 상징합니다. 다만 정직하게 덧붙이면, 같은 수법이 수성의 근일점 이상에 적용되었을 때는 실패했습니다. 르베리에가 예측한 내행성 벌컨은 끝내 없었고, 그 어긋남은 아인슈타인의 일반 상대성이론이 풀게 됩니다. 같은 유형의 이상 현상이 한 번은 새 행성으로, 한 번은 새 이론으로 해소된 셈입니다.
인출 문제
생각해볼 질문 (정답 없음)
- 뉴턴 자신도 아무 매개 없이 먼 거리에서 작용하는 힘을 "철학적으로 불합리하다"고 여겼습니다. 잘 맞지만 기제를 알 수 없는 법칙을 과학은 어디까지 받아들여야 할까요?