역학 4강. 보존 법칙: 변하지 않는 것들

충돌의 순간 무슨 일이 벌어지는지 몰라도 답을 맞힐 수 있습니다. 무엇이 변하지 않는지만 알면 됩니다.

풀고 시작

일과 에너지: 힘의 장부를 다시 쓰다

힘 F로 물체를 거리 s만큼 밀면 일(work) W = Fs를 했다고 말합니다(힘과 이동 방향이 나란할 때). 이 정의가 좋은 이유는 일이 어디로 갔는지 추적되기 때문입니다. 물체를 가속시키는 데 쓰인 일은 운동 에너지 ½mv²로 쌓이고, 중력을 거슬러 들어 올리는 데 쓰인 일은 위치 에너지 mgh로 저장됩니다. 롤러코스터가 마찰 없이 내려오면 mgh가 ½mv²로 바뀔 뿐 합은 일정하죠. 이것이 역학적 에너지 보존입니다. 갈릴레오의 경사면에서 공이 반대편 같은 높이까지 올라간 것이 바로 이 보존의 얼굴이었습니다. 마찰이 있으면 역학적 에너지는 줄지만 사라진 몫은 열로 이전됩니다. 에너지는 형태를 바꿀 뿐 총량이 불변한다는 일반 원리는 19세기에 줄의 실험으로 확립되며, 이 이야기는 열역학에서 이어집니다.

운동량: 제3법칙이 남긴 불변량

운동량(momentum) p = mv의 보존은 뉴턴 제3법칙의 직접적 귀결입니다. 두 물체가 충돌하는 동안 서로 주고받는 힘은 매 순간 크기가 같고 방향이 반대이므로, 한쪽이 얻는 운동량을 다른 쪽이 정확히 잃습니다. 외력이 없는 한 계 전체의 운동량 합은 절대 변하지 않습니다. 총을 쏘면 총이 뒤로 밀리는 반동, 연료를 뒤로 내뿜어 앞으로 가는 로켓, 얼음판 위에서 서로 밀어낸 두 사람이 모두 이 법칙의 사례죠. 그런데 무엇이 보존되는가를 두고는 한 세기짜리 논쟁이 있었습니다. 데카르트가 운동의 총량 보존을 먼저 주장했지만 방향을 무시해 틀렸고, 방향을 포함한 벡터량으로 고쳐 보존을 바로 세운 것은 하위헌스의 충돌 연구였습니다. 라이프니츠는 한발 더 나아가 mv가 아니라 mv²(그의 용어로 살아 있는 힘, vis viva)가 참된 보존량이라며 데카르트파와 수십 년 논쟁을 벌였는데, 결국 둘 다 옳았습니다. 운동량과 에너지는 서로 다른 두 개의 보존량이었던 것이죠.

위력: 충돌은 속을 몰라도 풀린다

보존 법칙의 진짜 위력은 모르는 것을 건너뛰게 해 준다는 데 있습니다. 두 당구공이 부딪히는 몇 밀리초 동안 힘은 복잡하게 요동치고, 그 세부를 아는 사람은 없습니다. 그러나 충돌 전후의 운동량 합이 같다는 조건, 그리고 탄성 충돌이라면 운동 에너지 합도 같다는 조건만 세우면 충돌 후 속도가 계산됩니다. 과정의 블랙박스를 열지 않고 입구와 출구만으로 답을 얻는 것이죠. 표로 정리하면 이렇습니다.

교통사고 감정에서 스키드마크와 잔해로 충돌 직전 속도를 역산하는 것도, 입자가속기에서 검출기에 남은 파편들로 보이지 않는 입자를 추적하는 것도 같은 논법입니다. 실제로 중성미자는 베타붕괴에서 에너지와 운동량 장부가 맞지 않는다는 이유로, 관측되기 26년 전에 파울리가 존재를 예언한 입자입니다.

뇌터: 보존은 대칭의 그림자다

그런데 왜 하필 에너지와 운동량이 보존될까요? 20세기가 준 답은 놀랍도록 깊습니다. 수학자 에미 뇌터가 1918년에 증명한 뇌터 정리(Noether's theorem)에 따르면, 물리 법칙의 연속 대칭 하나마다 보존량이 하나씩 대응합니다. 물리 법칙이 어제나 오늘이나 같다는 시간 이동 대칭에서 에너지 보존이, 여기서나 저기서나 같다는 공간 이동 대칭에서 운동량 보존이, 어느 방향이나 같다는 회전 대칭에서 다음 강의 주인공인 각운동량 보존이 나옵니다. 보존 법칙은 우연한 규칙이 아니라 세계의 대칭이 드리운 그림자라는 것이죠. 이 관점은 현대 입자물리학의 뼈대가 되며, 입자와 우주 과목에서 다시 만납니다.

인출 문제

생각해볼 질문 (정답 없음)

• "에너지"는 눈에 보이지 않고 정의도 형태마다 다릅니다. 그런데도 물리학자들이 에너지 보존을 사실상 포기 불가능한 원리로 다루는 이유는 무엇일까요? 장부가 안 맞을 때 새 항목(중성미자)을 만드는 것은 정당한 과학일까요?

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