역학 2강. 뉴턴의 운동 법칙
말이 마차를 끄는 힘과 마차가 말을 당기는 힘은 정확히 같습니다. 그런데도 마차는 앞으로 갑니다.
풀고 시작
제1법칙: 관성, 그리고 무대의 선언
제1법칙은 이렇게 말합니다. 힘이 작용하지 않으면 물체는 정지 상태나 등속 직선 운동을 유지합니다. 갈릴레오의 관성을 이어받은 것이지만, 단순히 제2법칙에서 F=0을 대입한 특수 사례로 읽으면 아깝습니다. 제1법칙의 더 깊은 역할은 무대의 선언이거든요. 힘 없는 물체가 실제로 등속 직선 운동으로 보이는 기준틀, 곧 관성계(inertial frame)가 존재한다는 주장이며, 제2법칙과 제3법칙은 그런 기준틀 안에서만 성립합니다. 급정거하는 버스 안에서 몸이 쏠리는 것은 누가 밀어서가 아니라 버스가 관성계가 아니기 때문입니다. 흔한 오해 하나를 여기서 걷어내죠. 던져진 공이 계속 날아가는 데에는 어떤 힘도 필요 없습니다. "운동의 힘이 남아 있어서 날아간다"는 직관은 아리스토텔레스의 유령입니다.
제2법칙: F=ma는 정의인가 법칙인가
제2법칙의 현대적 표기는 F=ma, 뉴턴 자신의 표현에 더 가깝게는 힘이 운동량 mv의 변화율과 같다는 것입니다. 그런데 여기에 유명한 물음이 하나 있습니다. 힘을 재는 독립적 방법이 없다면 F=ma는 힘의 정의일 뿐이지 않을까요? 물리학자 마흐가 벼린 이 비판은 절반만 옳습니다. F=ma 한 줄만 떼어 놓으면 확실히 순환적입니다. 그러나 뉴턴 역학은 이 틀에 힘 법칙들을 따로 공급합니다. 만유인력 F = Gm₁m₂/r², 용수철의 F = -kx 같은 법칙이 힘을 물체들의 배치로부터 독립적으로 지정하고, 그 힘을 ma와 등치할 때 비로소 내일의 운동을 맞히거나 틀리는 경험적 예측이 나옵니다. 즉 F=ma는 홀로는 틀이고, 힘 법칙과 결합했을 때 법칙이 됩니다. 질량 m은 같은 힘에 얼마나 덜 가속되는가, 곧 관성의 크기를 재는 양입니다.
제3법칙: 상쇄되지 않는 짝힘
제3법칙은 모든 작용에 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 따른다고 말합니다. 고전적 퍼즐이 이 법칙의 시금석이죠. 말이 마차를 힘 F로 끌면 마차도 말을 F로 당깁니다. 그럼 합력이 0이니 마차는 영원히 못 움직이는 걸까요? 오류는 서로 다른 물체에 걸린 힘을 한 장부에 합산한 데 있습니다. 마차의 운동은 마차가 받는 힘들만으로 결정됩니다. 말이 끄는 힘에서 마찰을 뺀 값이 양수면 마차는 가속하죠. 말이 앞으로 가는 것은 말굽이 땅을 뒤로 밀 때 땅이 말을 앞으로 밀어 주기 때문입니다. 로켓이 진공에서 나아가는 원리도 같습니다. 밀어낼 공기가 필요한 것이 아니라, 연료를 뒤로 내뿜으면 연료가 로켓을 앞으로 미는 것이죠. 1920년 뉴욕타임스가 로켓 연구자 고더드를 두고 "진공에서는 밀 것이 없으니 로켓은 못 난다"고 조롱한 사설은, 아폴로 11호 발사 다음 날 공식 정정되었습니다. 제3법칙을 오해하면 신문도 틀립니다. 제3법칙은 다음다음 강에서 볼 운동량 보존의 뿌리이기도 합니다.
프린키피아(1687): 하나의 문법이 된 세계
세 법칙은 『자연철학의 수학적 원리』, 곧 프린키피아(1687)의 첫머리에 공리로 선언되었습니다. 핼리 혜성의 그 핼리가 출판비를 대고 출간을 독촉하지 않았다면 세상에 늦게 나왔을 책이죠. 이 책의 혁명은 개별 답이 아니라 문법을 준 데 있습니다. 어떤 계든 힘을 지정하고 F=ma를 세우면 미래 운동이 계산된다는 보편적 절차, 오늘날의 물리학자가 여전히 쓰는 그 절차가 여기서 확립되었습니다. 갈릴레오의 낙하 법칙과 케플러의 행성 법칙이 같은 공리에서 연역되는 광경은 다음 강, 만유인력에서 펼쳐집니다. 물론 이 문법에도 유효 범위가 있습니다. 빛의 속도에 가까운 운동에서는 상대성이론이, 원자 규모에서는 양자역학이 뉴턴 역학을 대체하며, 그 경계 안에서 뉴턴 역학은 두 이론의 근사로 살아남습니다. 다리와 로켓과 행성 탐사선은 여전히 이 세 줄의 공리로 계산됩니다.
인출 문제
생각해볼 질문 (정답 없음)
- 지구 표면은 자전과 공전 때문에 엄밀한 관성계가 아닙니다. 그런데도 지상 실험이 뉴턴 법칙과 잘 맞는 이유는 무엇이며, 완벽한 관성계는 우주 어디에 있을까요?