통계학 4강. 상관과 인과
아이스크림 판매량과 익사자 수는 함께 오르내립니다. 아이스크림을 금지하면 익사가 줄어들까요?
풀고 시작
함께 움직임을 재다: 상관계수
두 변수가 함께 움직이는 정도를 재는 표준 도구가 상관계수(correlation coefficient)입니다. 피어슨(Karl Pearson)이 정식화한 이 값 r은 -1부터 +1 사이에 있습니다. +1에 가까우면 한쪽이 클 때 다른 쪽도 큰 강한 양의 직선 관계, -1에 가까우면 반대 방향, 0 근처면 직선 관계가 없다는 뜻이죠. 주의할 것이 둘 있습니다. 첫째, r은 직선 관계만 잽니다. 완벽한 U자 곡선 관계도 r은 0 근처로 나올 수 있습니다(앤스컴 콰르텟이 보여준 그림의 교훈이 여기서도 유효하죠). 둘째, r이 아무리 1에 가까워도 그것은 "함께 움직인다"는 사실의 요약일 뿐, 왜 함께 움직이는지는 한마디도 말해 주지 않습니다.
상관이 인과가 아닌 세 가지 경우
X와 Y의 상관이 관측됐을 때, "X가 Y를 일으킨다" 외에 최소 세 가지 대안 설명이 항상 존재합니다.
| 경우 | 구조 | 예시 |
|---|---|---|
| 우연 | 아무 관계 없음 | 변수 수천 쌍을 뒤지면 니콜라스 케이지 영화 편수와 수영장 익사자 수처럼 우연히 맞물린 쌍이 반드시 나온다 |
| 역인과 | Y가 X를 일으킴 | 경찰이 많은 지역에 범죄가 많다: 범죄가 많아서 경찰을 늘렸을 수 있다 |
| 교란변수 | Z가 X와 Y를 모두 일으킴 | 더위가 아이스크림 판매와 익사를 동시에 늘린다 |
첫째 경우는 3강의 문턱 논리와 연결됩니다. 충분히 많은 쌍을 검정하면 우연만으로도 "유의한" 상관이 쏟아지죠. 둘째는 화살표 방향의 문제, 셋째는 화살표의 출발점이 따로 있다는 문제입니다. 교란변수(confounding variable)가 셋 중 가장 악명 높습니다. 흄이 논증했듯 인과의 화살표 자체는 데이터에 지각되지 않기 때문에(경험론의 인과 해체 논증), 관측된 반복만으로는 세 구조를 구별할 수 없습니다.
심슨의 역설: 쪼개면 뒤집힌다
교란은 때로 결론을 통째로 뒤집습니다. 심슨의 역설(Simpson's paradox)이죠. 1973년 버클리 대학원 입학 데이터가 고전적 사례입니다. 전체로 보면 남성 지원자의 합격률이 여성보다 뚜렷이 높아 차별 소송감으로 보였습니다. 그런데 학과별로 쪼개 보니 어땠을까요? 다수의 학과에서 여성 합격률이 남성과 비슷하거나 오히려 높았습니다. 여성 지원자들이 경쟁이 치열하고 합격률이 낮은 학과에 많이 지원했기 때문에, 합쳐 놓으면 반대 그림이 나온 것이죠. 부분들에서 성립하는 경향이 전체에서 뒤집힐 수 있다는 것, 따라서 "어떤 변수로 쪼개서 봐야 하는가"라는 질문 없이는 집계 숫자를 읽을 수 없다는 것이 이 역설의 교훈입니다.
인과를 확립하는 방법: 무작위 대조 실험
그렇다면 인과는 어떻게 확인할까요? 표준 답은 무작위 대조 실험(randomized controlled trial, RCT)입니다. 대상자를 동전 던지기처럼 무작위로 처치군과 대조군에 배정하고 결과를 비교하죠. 무작위 배정의 힘은 교란변수 문제를 원리적으로 해소한다는 데 있습니다. 나이, 소득, 건강 상태, 심지어 아무도 생각하지 못한 변수까지, 알려진 교란이든 미지의 교란이든 두 집단에 평균적으로 비슷하게 흩어지기 때문입니다. 두 집단의 유일한 계통적 차이가 처치 여부가 되므로, 결과의 차이를 처치의 효과로 돌릴 수 있죠. 2강의 무작위 추출이 "표본이 모집단을 닮게" 만들었다면, 무작위 배정은 "두 집단이 서로 닮게" 만듭니다. 물론 RCT가 만능은 아닙니다. 흡연의 해악을 확인하려고 사람들에게 무작위로 흡연을 강제할 수는 없으니까요. 윤리와 비용이 실험을 막을 때 관찰 데이터에서 인과를 짜내는 기법들이 현대 인과추론이라는 분야를 이루지만, 그 모든 기법의 기준점은 여전히 RCT입니다.
인출 문제
생각해볼 질문 (정답 없음)
- 흡연과 폐암의 인과는 RCT 없이 어떻게 확립됐을까요? 관찰 데이터만으로 인과를 주장하려면 어떤 증거들이 쌓여야 할까요?