해석학 4강. 미적분학의 기본정리
기울기를 재는 문제와 넓이를 재는 문제는 수천 년 동안 남남이었습니다. 알고 보니 서로의 역연산이었죠.
풀고 시작
만날 이유가 없던 두 문제
2강의 미분은 접선과 순간을 다루는 문제였고, 3강의 적분은 넓이와 누적을 다루는 문제였습니다. 표면상 아무 관련이 없어 보이죠. 하나는 곡선의 한 점에서 벌어지는 국소적 사건이고, 다른 하나는 구간 전체를 쓸어 담는 대역적 계산입니다. 실제로 그리스 시대부터 17세기까지 두 문제는 별개의 기술로 다뤄졌습니다.
그런데 이 둘이 연결되어 있다는 조짐이 뉴턴의 스승 배로(Barrow)의 기하학적 정리 등에서 부분적으로 나타났고, 뉴턴과 라이프니츠가 이 관계를 일반적 계산 체계의 심장으로 만들었습니다. 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라는 이름이 과장이 아닌 이유는 이렇습니다. 이 정리가 없으면 미분법과 적분법은 그저 두 개의 별개 기술이고, 이 정리가 있으면 하나의 학문이 되기 때문입니다.
정리의 내용
함수 f가 있을 때, a부터 x까지 f의 그래프 아래 넓이를 x의 함수로 본 것을 누적 함수 A(x)라 합시다. 기본정리의 첫째 부분은 이렇게 말합니다. 누적 함수를 미분하면 원래 함수가 나온다. 즉 A'(x) = f(x)입니다. 넓이를 쌓는 연산을 변화율 연산이 정확히 되돌리는 것이죠.
둘째 부분은 계산 도구입니다. 미분해서 f가 되는 함수 F(원시함수, antiderivative)를 하나 찾으면, a부터 b까지의 적분은 F(b) - F(a)로 끝납니다. 무한히 많은 직사각형을 더하는 극한 계산이, 함수 하나를 찾아 두 값을 빼는 일로 바뀌는 것입니다. 아르키메데스가 한 문제마다 천재적 구성으로 풀던 넓이 계산이 기계적 절차가 된 셈이죠. 예를 들어 y = x² 아래 0부터 1까지의 넓이는, 미분해서 x²이 되는 x³/3에 1과 0을 대입해 빼면 1/3입니다. 몇 초짜리 계산입니다.
왜 참인가: 얇은 조각 논증
증명의 뼈대는 놀랄 만큼 직관적입니다. 누적 함수 A(x)가 x에서 x + h까지 얼마나 늘어나는지 볼까요? 늘어난 양 A(x + h) - A(x)는 폭 h짜리 가느다란 세로 조각의 넓이입니다. h가 아주 작으면 이 조각은 거의 직사각형이고, 높이는 그 지점의 함수값 f(x)와 거의 같습니다. 따라서 조각 넓이는 대략 f(x) 곱하기 h이고, 이를 h로 나눈 평균변화율은 대략 f(x)죠. h를 0으로 보내는 극한에서 "대략"이 사라지며 A'(x) = f(x)를 얻습니다.
말로 풀면 이렇습니다. 넓이가 불어나는 순간적인 속도는, 지금 쌓이고 있는 조각의 높이입니다. 욕조에 물을 받을 때 수량이 늘어나는 속도가 바로 지금 수도꼭지에서 나오는 유량인 것과 같죠. 누적의 변화율은 현재값이라는 이 한 문장이 미분과 적분을 관통합니다. 물론 "거의 직사각형"이라는 근사가 극한에서 정확해진다는 것은 함수의 연속성을 전제한 주장이며, 이 전제를 명시하는 일의 중요성은 6강에서 드러납니다.
과학혁명의 엔진
이 정리의 역사적 무게는 계산 편의를 훌쩍 넘습니다. 뉴턴의 운동 법칙은 힘과 가속도의 관계, 즉 변화율에 관한 법칙입니다. 자연은 "행성이 어디에 있는가"가 아니라 "행성의 운동이 매 순간 어떻게 변하는가"를 법칙으로 말하죠. 그런데 우리가 알고 싶은 것은 궤도 전체, 즉 변화율을 누적한 결과입니다. 기본정리는 바로 이 번역을 수행합니다. 순간의 법칙(미분)에서 전체의 궤적(적분)을 계산해 내는 것입니다.
뉴턴이 『프린키피아』(1687)에서 케플러의 행성 법칙을 만유인력에서 유도해 보인 이래, 물리학은 "미분방정식을 세우고 적분해서 예측한다"는 틀로 재편됐습니다. 조석, 포탄의 궤적, 훗날의 전자기학과 양자역학까지 같은 문법을 씁니다. 기본정리는 자연의 법칙과 자연의 이력 사이를 잇는 다리이며, 계산 가능한 과학이라는 근대의 기획 자체를 떠받치고 있죠. 다만 이 모든 성공의 발밑에서 "무한소"라는 개념은 여전히 정당화되지 않은 채였습니다. 그 청구서는 6강에서 날아옵니다.
인출 문제
생각해볼 질문 (정답 없음)
- "누적의 변화율은 현재값이다"라는 문장을 수학 밖의 사례(지식의 축적, 부의 축적)에 적용하면 어디까지 유효하고 어디서 무너질까요.
- 기본정리가 없었다면 과학혁명은 늦어졌을까요, 아니면 다른 수학적 도구가 그 자리를 대신했을까요.