수학의 언어 4강. 수 체계: 자연수에서 복소수까지
새로운 수는 발견되기 전에 먼저 필요해졌습니다. 풀리지 않는 방정식이 수의 우주를 넓혀 왔습니다.
풀고 시작
확장의 논리: 닫혀 있지 않은 곳에서 수가 태어난다
3 - 5의 답은 무엇일까요. 자연수의 세계에는 없습니다. 자연수 ℕ은 덧셈과 곱셈에 닫혀 있지만 뺄셈에는 닫혀 있지 않기 때문이죠. 수 체계의 역사는 바로 이런 결핍을 메우는 확장의 연쇄로 정리됩니다.
| 체계 | 풀리지 않는 방정식 | 확장으로 얻는 수 |
|---|---|---|
| ℕ | x + 3 = 1 | 음수와 0을 더해 ℤ |
| ℤ | 2x = 1 | 분수를 더해 ℚ |
| ℚ | x² = 2 | 무리수를 더해 ℝ |
| ℝ | x² = -1 | 허수를 더해 ℂ |
각 확장은 이전 체계를 부분으로 품고 연산 법칙을 보존합니다. 그리고 여기서 3강의 동치관계가 일합니다. 유리수는 분수 표기들의 동치류로 지어지며, 1/2과 2/4가 같은 수인 이유는 같은 동치류에 속하기 때문입니다.
히파소스의 발견: 비(比)가 아닌 크기
한 변이 1인 정사각형의 대각선. 이 평범해 보이는 선분 하나가 학파 하나의 세계관을 무너뜨렸습니다. 피타고라스 학파의 신조는 "만물은 수와 수의 비"였습니다. 그런데 그 대각선의 길이 √2는 어떤 정수의 비로도 표현되지 않습니다. 2강에서 전개한 귀류법 증명이 바로 그 사실의 증명이죠. 전승에 따르면 이 발견은 학파의 일원 히파소스(Hippasus, 기원전 5세기경)와 연관되며, 그가 비밀을 누설한 죄로 바다에 던져졌다는 이야기가 전해집니다. 이 극적인 일화 자체는 후대의 전설로 사료적 근거가 약합니다. 그러나 통약 불가능한 크기의 발견이 그리스 수학의 세계관을 뒤흔든 사건이었다는 것은 분명합니다. 그리스인들은 이후 수 대신 기하학적 크기를 중심으로 이론을 재정비했습니다.
실수의 완비성: 틈이 없는 직선
유리수는 조밀합니다. 어떤 두 유리수 사이에도 유리수가 무한히 있죠. 그런데도 √2가 있어야 할 자리에는 구멍이 있습니다. 유리수만으로 수직선을 만들면 곳곳이 뚫린 직선이 되는 것입니다. 실수 ℝ을 실수답게 만드는 결정적 성질이 완비성(completeness)입니다. 직관적으로 말해 수직선에 틈이 전혀 없다는 성질이며, "위로 유계인 집합은 반드시 최소상계를 갖는다"는 형태로 정식화됩니다. 1872년 데데킨트(Dedekind)는 유리수 전체를 두 무리로 자르는 절단(cut)으로 실수를 구성해 이 성질을 보장했습니다. 극한, 연속, 미분과 적분, 곧 해석학 전체가 이 성질 하나 위에 서 있습니다.
허수의 수용사: 조롱에서 평면으로
x² = -1은 오랫동안 "해 없음"으로 처리됐습니다. 그런데 전환점은 뜻밖에도 2차가 아니라 3차방정식에서 왔습니다. 카르다노(Cardano)가 1545년 『아르스 마그나』에서 3차방정식의 해법을 공개한 뒤, 봄벨리(Bombelli)는 실수 해가 분명히 존재하는 방정식인데도 그 해법의 계산 중간에 음수의 제곱근을 통과해야만 답이 나오는 경우가 있음을 보였습니다. 쓸모가 존재의 승인을 앞선 것이죠. 데카르트는 이런 수를 "상상의 수"(imaginary number)라 불렀는데, 이는 조롱에 가까운 명명이었습니다. 이후 오일러가 기호 i를 도입하고, 가우스가 복소수를 평면 위의 점으로 시각화하면서 의심은 사실상 끝났습니다. 복소수 ℂ 안에서는 상수가 아닌 모든 다항방정식이 해를 갖습니다(대수학의 기본정리). 방정식이 강제해 온 확장의 사슬이 여기서 완결됩니다. 그러나 확장이 끝났다고 수의 이야기가 끝난 것은 아닙니다. 5강에서 수 개념은 무한의 크기라는 전혀 다른 방향으로 확장됩니다.
인출 문제
생각해볼 질문 (정답 없음)
- 복소수 다음의 확장인 사원수(quaternion)에서는 곱셈의 교환법칙이 깨집니다. 확장이 언제나 공짜가 아니라면, 우리는 새 수를 얻기 위해 어떤 법칙까지 포기할 수 있을까요.
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