대수학 4강. 갈루아 이론의 풍경
스무 살 청년이 결투 전날 밤 친구에게 남긴 편지에는, 방정식의 풀이 가능성을 대칭의 언어로 번역하는 이론이 요약되어 있었습니다.
풀고 시작
결투 전야의 편지
수학사에서 가장 극적인 하룻밤을 꼽으라면 많은 사람이 이 밤을 꼽습니다. 갈루아(Galois, 1811~1832)의 삶은 짧고 어긋남의 연속이었습니다. 에콜 폴리테크니크 입학시험에 두 번 낙방했고, 학술원에 제출한 논문은 심사 과정에서 분실되거나 "이해할 수 없다"는 평가와 함께 반려되었습니다. 공화주의 활동으로 투옥되기도 했죠. 1832년 5월 30일, 그는 경위가 완전히 밝혀지지 않은 결투에서 총상을 입고 다음 날 스무 살로 사망합니다.
결투 전날 밤 갈루아는 친구 슈발리에(Chevalier)에게 자신의 수학적 발견을 요약한 긴 편지를 썼습니다. 이것은 실화입니다. 다만 "하룻밤에 이론 전체를 창조했다"는 통속적 전설은 과장입니다. 이론의 본체는 이미 논문으로 써 두었고, 그날 밤의 편지는 그 요약과 미완의 전망이었죠. 편지는 야코비나 가우스에게 보여 달라는 부탁으로 끝납니다. 원고는 14년이 지난 1846년에야 리우빌(Liouville)의 손으로 정식 출판되었고, 수학계는 그제서야 무엇을 잃었는지 알게 되었습니다.
방정식에서 군으로
핵심 아이디어는 이렇습니다. 방정식의 근들은 서로 자리를 바꿔도 계수들 사이의 대수적 관계를 그대로 보존하는 치환의 대칭을 갖습니다. 이 대칭들을 모으면 2강에서 배운 군이 되는데, 이것이 그 방정식의 갈루아 군입니다. 갈루아의 정리는 다음의 번역입니다. 방정식이 근호로 풀린다는 것과, 갈루아 군이 아벨군 층으로 차곡차곡 분해된다는 것(가해성, solvability)은 동치입니다.
이 번역이 왜 강력할까요? 근의 공식을 찾는 일은 끝이 없는 탐색이지만, 군의 가해성은 유한한 점검으로 판정되기 때문입니다. 4차 이하 일반 방정식의 군은 가해군이므로 공식이 존재하고, 일반 5차 방정식의 군은 가해군이 아니므로 공식이 존재할 수 없습니다. 1강의 아벨-루피니 정리가 "불가능하다"까지 말했다면, 갈루아는 왜 불가능한지, 그리고 어떤 개별 방정식이 풀리는지까지 가르는 기준을 준 것이죠. 이 강의에서는 증명의 세부(체의 확대, 부분군의 대응)를 다루지 않습니다. 그 세부는 대학 대수학 한 학기 분량이며, 여기서는 번역이라는 발상 자체가 요점입니다. 어려운 세계의 질문을 구조를 보존하는 다리로 건너 쉬운 세계에서 판정하고 돌아온다는 전략은, 이후 수학이 반복해서 쓰게 될 기본 수법이 됩니다.
자와 컴퍼스, 2000년 묵은 문제들
2000년 동안 아무도 풀지 못한 문제가 한꺼번에 정리된 사건이 있습니다. 같은 번역 전략이 고대 그리스의 작도 문제를 해결한 것이죠. 자와 컴퍼스로 만들 수 있는 길이는 주어진 길이에서 사칙연산과 제곱근만으로 얻어지는 수뿐입니다. 체의 언어로 말하면, 작도 가능한 수는 2차 확대를 거듭 쌓아 도달하는 수이고, 그 "대수적 높이"(차수)는 반드시 2의 거듭제곱입니다.
각의 3등분이 여기서 무너집니다. 60°를 3등분한 20°에 해당하는 수는 3차 방정식의 근으로, 높이가 3입니다. 3은 2의 거듭제곱이 아니므로 일반 각의 3등분은 작도 불가능합니다. 이 증명은 갈루아 사후인 1837년 방첼(Wantzel)이 완성했습니다. 반대 방향의 놀라움도 있습니다. 1796년 19세의 가우스는 정17각형이 작도 가능함을 보였습니다. 17이 소수이면서 16 + 1, 즉 2의 거듭제곱 더하기 1꼴(페르마 소수)이기 때문이죠. 자와 컴퍼스를 아무리 다뤄도 보이지 않던 답이, 도구를 수의 구조로 번역하자마자 드러난 것입니다.
유산
갈루아가 남긴 것은 정리 하나가 아니라 방법입니다. 문제를 그 문제의 대칭 구조로 번역해 판정한다는 전략은 이후 수학 전체의 표준 기법이 되었고, 군이라는 개념 자체가 그의 작업에서 성숙했습니다. 다음 강에서는 이 번역 정신이 어떻게 추상대수학이라는 학문 전체로 자라났는지 보겠습니다.
인출 문제
생각해볼 질문 (정답 없음)
- "풀 수 없음"의 증명이 "풀이"보다 수학을 더 멀리 데려간 사례를 이 과목에서 몇 개나 만나셨나요? 불가능성 증명은 왜 생산적일까요?