해석학 3강. 적분: 무한히 쪼개어 더하기
곡선 아래의 넓이가 궁금하면 무한히 얇은 조각으로 썰어 전부 더하면 됩니다. 이 발상은 미분보다 2천 년 먼저 있었습니다.
풀고 시작
아르키메데스의 실진법
곡선 도형의 넓이 문제는 고대 그리스에서 이미 진지하게 다뤄졌습니다. 에우독소스(Eudoxos)가 기초를 놓고 아르키메데스(Archimedes, 기원전 3세기)가 완성한 실진법(method of exhaustion)은, 곡선 도형 안팎에 다각형을 채워 넣어 참값을 양쪽에서 조여 가는 방법입니다. 원 안에 정6각형, 정12각형, 정24각형을 차례로 내접시키면 다각형 넓이가 원 넓이에 한없이 다가갑니다. "남는 부분을 소진시킨다"는 이름 그대로죠.
아르키메데스의 걸작은 포물선 활꼴의 넓이 계산입니다. 활꼴 안에 삼각형을 넣고, 남은 틈에 더 작은 삼각형들을 넣는 과정을 반복하면 삼각형 넓이들이 일정한 비율로 줄어드는 수열이 되고, 그 총합으로부터 활꼴의 넓이는 내접 삼각형의 4/3배라는 정확한 답을 얻었습니다. 무한 분할과 극한의 아이디어가 미분이 등장하기 2천 년 전에 이미 작동하고 있었던 것입니다. 다만 그리스인들은 무한을 직접 언급하는 것을 피했기 때문에, 매 문제마다 천재적인 개별 구성과 이중 귀류법이 필요했습니다. 일반적인 계산 절차는 아니었던 셈이죠.
리만 합: 쪼개기의 표준화
이 발상을 표준 절차로 정리한 현대적 형식이 리만 합(Riemann sum)입니다. 리만(Riemann)이 19세기에 정식화했죠. 구간 [a, b] 위에서 곡선 y = f(x) 아래의 넓이를 구한다고 해 봅시다. 구간을 폭이 좁은 조각들로 자르고, 각 조각 위에 곡선 높이만 한 직사각형을 세운 뒤 넓이를 전부 더합니다. 직사각형 지붕은 곡선과 어긋나므로 이 합은 근사일 뿐이지만, 조각 폭을 좁힐수록 오차는 줄어듭니다. 분할을 한없이 가늘게 할 때 이 합들이 수렴하는 극한값을 f의 a부터 b까지의 적분(integral)이라 정의하고 ∫ 기호로 씁니다. 늘어진 S 모양의 이 기호는 합(sum)의 머리글자를 라이프니츠가 늘여 쓴 것입니다. 1강의 언어로 말하면, 적분이란 근사값 수열의 극한이죠.
넓이를 넘어: 누적량의 수학
그런데 절차를 뜯어보면 재미있는 사실이 드러납니다. 넓이는 여러 응용 중 하나일 뿐이라는 것입니다. 적분의 본질은 잘게 쪼개서, 각 조각을 단순하게 계산하고, 전부 더하는 것입니다. 속도가 시시각각 변하는 자동차의 이동 거리를 구하려면, 짧은 순간마다 속도가 거의 일정하다고 보고 거리(속도 곱하기 짧은 시간)를 더하면 됩니다. 이것이 속도 함수의 적분입니다. 회전체의 부피는 얇은 원판의 부피를 쌓아 얻고, 물리학의 일, 통계학의 확률(확률론 과목에서 다룹니다)도 같은 틀로 계산됩니다. 적분은 변하는 양의 누적을 계산하는 보편 기계인 셈이죠.
아르키메데스 자신도 이 점을 알고 있었습니다. 그는 구의 부피가 외접 원기둥 부피의 2/3라는 결과를 지렛대 원리로 먼저 발견한 뒤 실진법으로 증명했고, 이 발견을 가장 자랑스러워해서 묘비에 구와 원기둥을 새기게 했습니다. 넓이 계산이 역학적 사고와 통한다는 것을 그는 이미 감지하고 있었던 것입니다.
역사의 순서: 적분이 먼저였다
교과서는 미분을 먼저 가르치지만, 역사는 정반대로 걸었습니다. 넓이와 부피를 구하는 적분적 문제는 아르키메데스, 나아가 고대 이집트와 바빌로니아의 측량으로 거슬러 오릅니다. 반면 접선과 순간변화율을 다루는 미분은 본질적으로 17세기의 발명품이죠. 그리고 결정적인 사실이 하나 있습니다. 이 두 문제가 서로 관련이 있다는 것 자체가 나중에야 발견됐다는 점입니다. 수천 년 동안 넓이 문제와 접선 문제는 남남이었고, 17세기 전반의 카발리에리와 페르마 같은 선구자들도 두 문제를 각각 따로 공략하고 있었습니다. 쪼개어 더하는 문제와 순간을 재는 문제가 실은 서로의 역연산이라는 발견, 그것이 다음 강의 주제인 미적분학의 기본정리입니다.
인출 문제
생각해볼 질문 (정답 없음)
- 아르키메데스가 무한 개념을 자유롭게 쓸 수 있었다면 미적분은 2천 년 일찍 나왔을까요, 아니면 대수 기호 같은 다른 재료가 부족해서 불가능했을까요.
- "쪼개서 더한다"는 전략이 통하지 않는 양도 있을까요. 예를 들어 잘게 쪼갤수록 오히려 복잡해지는 대상은 무엇일까요.
이전: 2강 미분 · 다음: 4강 미적분학의 기본정리