기하학 3강. 좌표기하학: 데카르트의 다리

좌표는 도형을 방정식으로, 기하 문제를 계산 문제로 번역하는 다리입니다. 이 다리 위에서 미적분이 태어났습니다.

풀고 시작

점을 수의 쌍으로

철학책의 부록이 수학의 역사를 바꿨다면 믿으시겠습니까? 1637년 데카르트(Descartes)는 『방법서설』의 부록으로 『기하학』을 발표했습니다. 확실한 지식의 방법을 찾던 철학자가 그 모범 답안으로 내놓은 것이 기하와 대수의 결합이었고, 여기서 발전된 아이디어가 훗날 그의 이름을 딴 데카르트 좌표입니다. 평면에 기준 축을 깔면 모든 점은 수의 쌍 (x, y)로, 모든 곡선은 x와 y 사이의 방정식으로 표현됩니다. 원점을 중심으로 한 반지름 r의 원은 x² + y² = r², 직선은 y = ax + b가 되죠. 같은 시기 프랑스의 페르마(Fermat)도 독립적으로 같은 착상에 도달했습니다(그의 논문은 사후 출판됐습니다). 이 발명의 의미는 편리한 표기법 이상입니다. 그리스 기하학에서 곡선 하나를 다루려면 그 곡선만의 기발한 보조선이 필요했습니다. 좌표기하학에서는 모든 곡선에 통하는 하나의 일반적 방법이 생깁니다. 방정식을 세우고 계산하면 되니까요. 천재의 통찰이 필요하던 자리에 절차가 들어선 것입니다.

번역 사전이 하는 일

번역은 양방향으로 작동합니다. 기하 문제가 대수로 넘어가고, 대수 문제가 기하적 직관을 얻습니다.

예를 들어 직선이 원에 접하는지 판정하는 문제는, 두 방정식을 연립해 얻은 이차방정식의 판별식이 0인지 확인하는 계산이 됩니다. 이 번역 덕분에 대수학의 모든 도구가 기하학의 무기고로 들어왔고, 거꾸로 방정식의 해를 "그래프의 교점"으로 그려 보는 기하적 직관이 대수에 들어왔죠. 오늘날 컴퓨터 그래픽, 내비게이션, 기계학습이 모두 이 번역 위에서 돌아갑니다. 화면의 이미지도, 데이터의 특징 벡터도 결국 좌표입니다.

원뿔곡선, 2000년 만의 취직

2000년 동안 아무 쓸모가 없던 수학이 어느 날 우주의 문법으로 판명된 사건이 있습니다. 번역의 위력을 보여준 첫 대형 사례, 원뿔곡선입니다. 기원전 3세기경 아폴로니오스(Apollonius)는 원뿔을 평면으로 자르는 각도에 따라 나오는 세 곡선, 타원·포물선·쌍곡선을 체계적으로 연구하고 이름을 붙였습니다. 순수한 호기심의 산물이었고 2000년 가까이 쓸모가 없었죠. 그런데 1609년 케플러(Kepler)가 화성 관측 자료를 분석해 행성 궤도가 원이 아니라 태양을 한 초점으로 하는 타원임을 밝힙니다(케플러 제1법칙). 갈릴레오는 던진 물체가 포물선을 그린다는 것을 보였습니다. 좌표기하학은 이 곡선들을 이차방정식이라는 한 가족으로 묶었습니다. ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 꼴의 방정식이 그리는 곡선이 바로 원뿔곡선입니다. 뉴턴은 『프린키피아』에서 거리 제곱에 반비례하는 인력으로부터 타원 궤도를 유도해, 아폴로니오스의 곡선과 케플러의 관측과 자신의 역학을 하나로 연결했습니다. 고대의 순수 기하학이 2000년 만에 천체역학에 취직한 셈이죠.

미적분의 발판

좌표기하학은 그 자체로 완성이 아니라 다음 도약의 발판이었습니다. 곡선이 방정식이 되자 두 가지 오래된 기하 문제가 계산 가능한 형태로 바뀌었습니다. 곡선 위 한 점에서 접선을 긋는 문제와 곡선 아래 넓이를 구하는 문제입니다. 페르마는 접선 문제를 대수적으로 다루는 방법을 개발했고, 데카르트도 자신의 방식을 내놓았습니다. 두 사람이 같은 문제를 두고 서로의 방법을 신랄하게 비판한 논쟁은 당대의 유명한 사건이었죠. 17세기 후반 뉴턴과 라이프니츠는 이 두 문제가 서로 역의 관계라는 것을 밝히며 미적분학을 세웁니다. 좌표라는 다리가 없었다면 "곡선의 기울기"를 함수의 계산으로 정의하는 일 자체가 불가능했습니다. 변화를 다루는 수학인 해석학은 이 지점에서 출발하며, 그 첫 관문인 극한 개념은 해석학 과목에서 다룹니다.

인출 문제

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