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기하학 4강. 위상수학 입문: 커피잔과 도넛

길이와 각도를 다 버리고도 남는 성질이 있습니다. 위상수학은 그 "끝까지 살아남는 성질"의 기하학입니다.

풀고 시작

문제 1. 위상수학의 관점에서 커피잔(손잡이 달린 머그잔)과 도넛이 같은 도형인 이유는 무엇일까요?

위상수학은 찢거나 붙이는 일 없이 늘이고 구부리는 연속 변형으로 서로 옮겨지는 도형을 같은 것으로 봅니다. 머그잔의 몸통을 반죽처럼 뭉개면 손잡이의 구멍 하나만 남아 도넛이 되죠. 부피나 회전 대칭은 위상이 보는 성질이 아닙니다.

고무판 위의 기하학

수학자에게 커피잔과 도넛이 같은 물건이라는 농담을 들어 보셨나요? 앞선 강의들의 기하학은 길이, 각도, 넓이를 쟀습니다. 위상수학(topology)은 반대로 묻습니다. 도형을 고무판처럼 마음대로 늘이고 구부려도, 찢거나 붙이지만 않는다면 끝까지 살아남는 성질은 무엇인가. 이런 연속 변형으로 서로 옮겨지는 두 도형을 위상수학은 같은 것(위상동형, homeomorphism)으로 봅니다. 삼각형과 원은 같습니다. 세 꼭짓점을 둥글게 눌러 펴면 되고, 그 과정에서 크기와 각도는 변형에서 살아남지 못하기 때문이죠. 그러나 구멍의 개수는 살아남습니다. 구멍이 하나인 도넛 곡면(토러스)은 구멍이 없는 공 표면과 결코 같아질 수 없습니다. 구멍을 없애려면 찢거나 메워야 하는데 그것이 금지된 조작이기 때문입니다. 커피잔과 도넛이 같다는 유명한 농담은 정확히 이 뜻입니다. 둘 다 구멍이 하나니까요.

쾨니히스베르크의 산책

위상수학의 기원으로 꼽히는 문제는 뜻밖에도 시민들의 산책 놀이였습니다. 프로이센의 도시 쾨니히스베르크에는 강이 도시를 네 구역으로 나누고 일곱 개의 다리가 놓여 있었습니다. 시민들의 오랜 놀이 질문은 이랬죠. 모든 다리를 정확히 한 번씩만 건너는 산책이 가능한가. 1736년 오일러(Euler)는 이 문제에서 다리의 길이와 구역의 모양이 전혀 중요하지 않음을 간파했습니다. 중요한 것은 무엇이 무엇과 연결되어 있는가뿐입니다. 각 구역을 점으로, 다리를 선으로 바꾸면 문제는 그래프 위의 한붓그리기가 됩니다. 오일러의 답은 불가능입니다. 한붓그리기가 되려면 홀수 개의 선이 모이는 점이 0개이거나 2개여야 하는데, 쾨니히스베르크는 네 구역 모두 홀수였거든요. 거리와 모양을 지우고 연결 관계만 남긴 이 논증을 오일러 스스로 "위치의 기하학"이라 불렀고, 이것이 그래프 이론과 위상수학의 출발점이 됐습니다. 앞선 강의들이 좌표와 수치를 더해 기하학을 정밀하게 만들었다면, 여기서는 반대로 정보를 덜어내서 문제의 뼈대를 드러낸 셈입니다.

오일러 표수, 도형의 지문

오일러는 또 하나의 보물을 남겼습니다. 다면체에서 꼭짓점(V), 모서리(E), 면(F)의 개수를 세면 언제나 V - E + F = 2가 성립한다는 것입니다. 정육면체는 8 - 12 + 6 = 2, 정사면체는 4 - 6 + 4 = 2, 축구공 모양도 60 - 90 + 32 = 2입니다. 개별 모양은 다 달라도 합은 같죠. 이 값(오일러 표수)이 2인 이유는 이 다면체들이 모두 위상적으로 구면이기 때문입니다. 도넛 표면을 다각형으로 잘라 세면 V - E + F = 0이 나옵니다. 즉 오일러 표수는 연속 변형에서 변하지 않는 불변량(invariant)이고, 값이 다르면 두 도형은 위상적으로 다르다고 단정할 수 있습니다. 잴 수 없는 "같음"을 셀 수 있는 수로 바꾼 것, 이것이 위상수학의 핵심 전략입니다.

뫼비우스 띠와 현대의 위상수학

종이 띠 하나로 "앞면과 뒷면"이라는 상식을 무너뜨릴 수 있습니다. 1858년 뫼비우스(Möbius)와 리스팅(Listing)은 독립적으로 기묘한 곡면을 발견했습니다. 종이 띠를 한 번 비틀어 붙인 뫼비우스 띠는 면이 하나, 가장자리도 하나뿐입니다. 표면을 따라 펜을 밀고 가면 뒤집기 없이 "뒷면"에 도달하죠. 안팎의 구별이라는 당연해 보이는 성질조차 도형의 본성이 아니라 위상의 문제임을 보여주는 물건입니다. 20세기에 푸앵카레(Poincaré)가 위상수학을 체계적 분과로 세운 뒤, 이 학문은 현대 수학의 공용어가 됐습니다. 그가 남긴 푸앵카레 추측은 100년 만인 2003년경 페렐만(Perelman)이 증명해 화제가 됐죠. 응용도 넓습니다. 데이터 분석에서는 고차원 데이터 구름의 구멍과 연결 구조를 세는 위상적 데이터 분석(TDA)이 쓰이고, 물리학의 위상 물질 연구는 2016년 노벨 물리학상으로 이어졌습니다. 다음 강에서는 공간을 보는 또 다른 축, 차원을 다룹니다.

인출 문제

문제 1. 위상수학에서 두 도형을 "같다"고 판정하는 기준은 무엇일까요?

위상동형의 기준은 연속 변형입니다. 늘이고 구부리는 것은 허용되고 찢거나 붙이는 것은 금지되죠. 합동은 길이까지 보존하는 훨씬 좁은 기준이고, 넓이나 부피는 연속 변형에서 보존되지 않으므로 위상의 기준이 될 수 없습니다.

문제 2. 오일러가 쾨니히스베르크 다리 문제를 풀며 한 결정적 추상화는 무엇일까요?

오일러는 이 문제에서 기하학적 크기 정보가 무의미함을 간파하고 구역을 점, 다리를 선으로 바꿨습니다. 그 결과 한붓그리기 가능 조건(홀수점이 0개 또는 2개)이라는 순수하게 연결 구조에 관한 정리를 얻었죠. 네 구역 모두 홀수점이라 산책은 불가능합니다.

문제 3. 정육면체와 정사면체의 오일러 표수 V - E + F가 둘 다 2인 이유는 무엇일까요?

오일러 표수는 연속 변형에서 변하지 않는 위상 불변량입니다. 구면과 위상동형인 다면체는 모두 2가 나오고, 도넛 표면처럼 구멍이 있는 곡면을 잘라 세면 0이 나옵니다. 정다면체 여부나 면의 평평함은 무관합니다.

문제 4. 뫼비우스 띠가 보여주는 성질은 무엇일까요?

띠를 한 번 비틀어 붙이면 면 하나, 가장자리 하나인 곡면이 됩니다. 표면을 따라가면 뒤집지 않고도 반대쪽에 도달하므로 앞면과 뒷면의 구별이 사라지죠. 안팎의 구별은 공간에 놓인 방식과 위상에 달린 성질이지 모든 곡면이 갖는 본성이 아닙니다.

생각해볼 질문 (정답 없음)

길이도 각도도 버린 위상수학이 오히려 현대 수학의 공용어가 된 이유는 무엇일까요? 덜 재는 것이 더 넓게 통하는 것일까요?

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모던지 · 궁금하면 모던지 GitHub · 2026-09-10