회로이론 5강. 안정도와 주파수 응답

마이크를 스피커에 가까이 대면 나는 그 소리가, 제어계가 불안정해지는 순간의 소리입니다.

풀고 시작

왼쪽에 있어야 삽니다

앞 강에서 특성방정식의 근을 극점이라 했습니다. 안정도는 이 극점들의 위치로 정해집니다.

극점이 s 평면에서 왼쪽 반평면(실수부가 음수) 에 있으면 그 항의 응답이 시간이 갈수록 줄어듭니다. 오른쪽에 있으면 커지며 발산하죠. 모든 극점이 왼쪽에 있어야 안정하고, 하나라도 오른쪽에 있으면 그 항이 전체를 무너뜨립니다.

허수축 위에 있으면 줄지도 늘지도 않고 계속 진동합니다. 이것이 임계 안정이고 실무에서는 위험하다고 봅니다. 조금만 조건이 바뀌면 오른쪽으로 넘어가기 때문입니다.

극점을 일일이 구하지 않고 안정 여부만 판정하는 방법도 있습니다. 루스-후르비츠 판별법은 특성방정식의 계수만으로 오른쪽 극점의 개수를 셉니다. 계수 중 하나라도 부호가 다르거나 0이면 그 시점에 이미 불안정이죠. 손으로 판정할 때 여전히 유용합니다.

얼마나 여유가 있는가

안정한지 아닌지만으로는 부족합니다. 얼마나 여유롭게 안정한지를 알아야 합니다. 부품이 노후되고 온도가 변하면 특성이 조금씩 달라지는데, 여유가 없으면 그 작은 변화에 불안정해지니까요.

주파수 응답으로 이 여유를 잽니다. 시스템에 여러 주파수의 사인파를 넣어 이득과 위상이 어떻게 변하는지 보는 것이죠. 이것을 그린 것이 보드 선도입니다.

두 가지 여유를 읽습니다. 이득 여유는 위상이 -180도가 되는 주파수에서 이득이 1까지 얼마나 남았는지이고, 위상 여유는 이득이 1이 되는 주파수에서 위상이 -180도까지 얼마나 남았는지입니다.

왜 -180도와 이득 1이 기준일까요. 그 조건이 맞으면 되먹임으로 돌아온 신호가 원래 신호와 같은 크기로 정반대 위상이 되어, 빼야 할 것을 더하게 됩니다. 그러면 스스로 커지죠. 하울링이 정확히 이 상태입니다.

실무에서는 위상 여유 45도 이상, 이득 여유 6dB 이상을 대략의 목표로 삼습니다. 여유가 너무 크면 응답이 느려지므로 이것도 교환 관계입니다.

빠르게와 안정하게 사이에서

제어 설계는 결국 두 요구 사이의 타협입니다.

빠른 응답을 원하면 이득을 올립니다. 그러면 오차를 세게 고치니 목표에 빨리 도달하죠. 대신 지나쳐서 오버슈트가 커지고 여유가 줄어 진동하기 쉬워집니다.

안정한 응답을 원하면 이득을 낮춥니다. 부드럽지만 느리고 정상편차가 커집니다.

이 교환을 다루는 지표들이 있습니다. 상승시간은 얼마나 빨리 오르는지, 정정시간은 목표 부근에 자리 잡기까지 걸리는 시간, 최대 오버슈트는 얼마나 지나치는지, 정상편차는 끝내 남는 오차입니다. 사양서에 이 값들의 상한을 적어 두고 그 안에 들어오도록 튜닝합니다.

앞 강의 RLC 회로에서 본 과제동·임계제동·부족제동이 여기서 그대로 다시 나옵니다. 2차 시스템의 감쇠비가 1보다 크면 과제동, 같으면 임계제동, 작으면 부족제동이죠. 전기 회로에서 익힌 감각이 제어계에 그대로 옮겨 오는 지점이고, 두 과목이 한 시험에 묶여 있는 이유이기도 합니다.

인출 문제

이전: 회로이론 4강 · 다음: 전기설비기술기준 1강