전기자기학 3강. 도체와 정전용량
콘덴서는 전기를 담는 그릇이 아닙니다. 전기장을 담는 그릇입니다.
풀고 시작
담는 능력을 재는 값
같은 전압을 걸어도 도체마다 담기는 전하량이 다릅니다. 이 차이를 재는 값이 정전용량 C입니다.
C = Q / V
단위는 패럿(F)이고, 1F는 1볼트에 1쿨롱을 담는 크기입니다. 대단히 큰 단위라 실제로는 마이크로패럿이나 피코패럿을 씁니다.
정전용량은 전압이나 전하량과 무관한 그 물체 고유의 값입니다. 이 점이 자주 오해됩니다. 전압을 두 배로 올리면 전하도 두 배로 담기므로 비는 그대로죠. 컵의 크기가 물을 얼마나 부었는지와 무관한 것과 같습니다.
평행판 콘덴서의 정전용량은 다음과 같습니다.
C = ε · A / d
면적 A에 비례하고 간격 d에 반비례하며, 사이 물질의 유전율 ε에 비례합니다. 넓을수록, 가까울수록, 유전율이 클수록 많이 담깁니다.
직렬과 병렬이 저항과 반대인 이유
콘덴서를 연결할 때 합성 용량 계산이 저항과 정반대입니다. 외우지 마시고 이유를 보세요.
병렬로 붙이면 극판 면적이 넓어진 것과 같습니다. 그래서 용량이 그냥 더해집니다.
C = C₁ + C₂
직렬로 붙이면 간격이 멀어진 것과 같습니다. 그래서 역수를 더합니다.
1/C = 1/C₁ + 1/C₂
직렬 연결의 합성 용량은 가장 작은 콘덴서보다도 작아집니다. 좁은 목이 전체를 결정하는 셈이죠.
직렬에서 하나 더 기억할 것이 있습니다. 각 콘덴서에 담기는 전하량이 같습니다. 중간 도선은 고립되어 있어 전하가 새로 만들어질 수 없기 때문입니다. 그래서 용량이 작은 쪽에 전압이 더 많이 걸립니다. Q가 같은데 V = Q/C이니 C가 작으면 V가 크죠. 내압을 넘기면 그 콘덴서가 먼저 파괴됩니다.
유전체를 넣으면 무슨 일이 일어나나
콘덴서 사이에 유리나 종이를 끼우면 용량이 커집니다. 유전율이 커지기 때문인데, 그 속을 들여다보면 이렇습니다.
유전체 안의 분자들이 전기장에 반응해 한쪽으로 정렬합니다. 이것을 분극(polarization) 이라 하고, 정렬된 분자들이 만드는 전기장이 원래 전기장과 반대 방향입니다. 결과적으로 극판 사이의 실제 전계가 약해지고, 같은 전하량으로도 전압이 낮아지므로 C = Q/V에서 C가 커집니다.
여기서 조건에 따라 결과가 갈리는 지점이 시험에 자주 나옵니다.
| 조건 | 유전체를 넣으면 |
|---|---|
| 전원을 연결한 채(V 고정) | Q가 늘고 에너지도 늘어납니다 |
| 전원을 떼고(Q 고정) | V가 줄고 에너지가 줄어듭니다 |
어느 값을 붙잡아 두었는가를 먼저 확인해야 답이 나옵니다.
에너지는 어디에 저장되나
충전된 콘덴서에 담긴 에너지는 다음과 같습니다.
W = ½ C V² = ½ Q V = Q² / (2C)
세 표현이 모두 같은 값이고, 무엇을 알고 있느냐에 따라 골라 씁니다.
계수 ½이 붙는 이유가 있습니다. 충전하는 동안 전압이 0에서 V까지 점점 올라가기 때문입니다. 처음 전하를 밀어 넣을 때는 힘이 거의 안 들고 나중일수록 힘들죠. 평균이 V/2이라 ½이 붙습니다.
그런데 이 에너지는 어디에 저장될까요. 전하에 저장된다고 생각하기 쉽지만, 전자기학의 답은 다릅니다. 에너지는 전기장 자체에, 즉 극판 사이의 빈 공간에 저장됩니다. 단위 부피당 에너지는 ½εE²입니다.
이 관점이 이상해 보이지만 필수적입니다. 전자기파를 생각해 보세요. 안테나를 떠난 빛은 전하 없이 공간을 날아가면서도 에너지를 나릅니다. 에너지가 전하에 붙어 있다면 설명할 수 없죠. 장이 실재한다는 생각은 여기서 나왔습니다.