회로이론 4강. 제어계의 전달함수
되먹임이라는 발상 하나가, 부품이 부정확해도 정확하게 동작하는 기계를 가능하게 했습니다.
풀고 시작
결과를 보고 고친다는 발상
열린 루프(open loop) 제어는 결과를 보지 않습니다. 토스터에 3분을 맞추면 빵이 얼마나 구워졌든 3분 뒤에 멈추죠. 단순하고 싸지만 외란에 무력합니다.
닫힌 루프(closed loop), 즉 되먹임 제어는 출력을 재서 목표와 비교하고 그 오차만큼 고칩니다. 에어컨이 온도를 재서 켜고 끄는 방식이죠.
되먹임의 힘은 부품이 부정확해도 정확한 동작이 나온다는 데 있습니다. 증폭기의 이득이 온도에 따라 흔들려도 되먹임 루프가 그 흔들림을 눌러 줍니다. 20세기 전자공학과 자동제어가 이 발상 위에 서 있습니다.
대가도 있습니다. 불안정해질 수 있습니다. 고칠 때 너무 세게 고치면 넘어가고, 넘어간 것을 또 세게 고치면 진동이 커집니다. 마이크를 스피커에 가까이 댔을 때 나는 하울링이 바로 이 발산이죠. 그래서 제어공학의 절반이 안정도 이야기입니다.
시스템을 하나의 식으로
제어 대상을 다루려면 입력과 출력의 관계를 식으로 써야 합니다. 그것이 전달함수입니다.
전달함수는 초기 조건을 0으로 두었을 때 출력의 라플라스 변환을 입력의 라플라스 변환으로 나눈 것입니다. 앞 강의 라플라스가 여기서 쓰입니다.
G(s) = Y(s) / X(s)
블록으로 그리면 시스템을 조립할 수 있습니다. 직렬로 이으면 전달함수를 곱하고, 병렬로 이으면 더합니다. 되먹임 루프는 다음과 같습니다.
닫힌 루프 = G / (1 + GH)
여기서 G는 앞으로 가는 경로, H는 되돌아오는 경로입니다. 분모의 1 + GH를 특성방정식이라 하고, 이것이 0이 되는 s 값이 극점(pole) 입니다. 극점의 위치가 시스템의 성격을 거의 전부 정합니다.
GH가 아주 크면 닫힌 루프 전달함수가 대략 1/H가 됩니다. G가 흔들려도 결과는 H로만 정해지죠. 되먹임이 부품 오차에 둔감한 이유가 이 식에 있습니다.
어떻게 고칠 것인가
오차를 얼마나, 어떻게 고칠지를 정하는 것이 제어기입니다. 가장 널리 쓰이는 것이 PID이고 세 항의 성격이 다릅니다.
| 항 | 무엇을 보나 | 효과와 부작용 |
|---|---|---|
| 비례(P) | 지금의 오차 | 빠르지만 정상상태 오차가 남습니다 |
| 적분(I) | 쌓인 오차 | 정상상태 오차를 없애지만 느려지고 진동이 늘 수 있습니다 |
| 미분(D) | 오차의 변화율 | 미리 제동을 걸어 안정시키지만 잡음에 민감합니다 |
비례 제어만 쓰면 오차가 완전히 사라지지 않습니다. 오차가 0이 되면 출력도 0이 되어 버리니, 조금의 오차를 남겨야 제어량이 유지되기 때문이죠. 이 남는 오차를 정상편차(offset) 라 하고, 없애려면 적분항이 필요합니다.
미분항은 잡음을 증폭합니다. 측정값에 작은 떨림이 있으면 변화율이 크게 흔들리죠. 그래서 실무에서는 미분항에 필터를 함께 두거나 아예 PI만 쓰는 경우가 많습니다.
세 항의 비중을 정하는 일을 튜닝이라 하고, 빠른 응답과 안정도 사이의 교환 관계를 어디서 끊을지 정하는 작업입니다. 다음 강에서 그 판단 기준을 봅니다.