전기자기학 1강. 전하와 쿨롱의 법칙

전기자기학이 어려운 진짜 이유는 수식이 아니라, 눈에 보이지 않는 것을 그림으로 그려야 하기 때문입니다.

풀고 시작

만유인력과 똑같이 생긴 식

1785년 쿨롱이 비틀림 저울로 전하 사이의 힘을 쟀습니다. 결과는 놀라웠습니다. 뉴턴의 만유인력 법칙과 형태가 똑같았습니다.

F = k · Q₁Q₂ / r²

두 전하의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례합니다. 다른 점은 둘입니다. 중력은 언제나 끌어당기지만 전기력은 밀기도 합니다. 그리고 전기력이 비교할 수 없이 셉니다. 전자 두 개 사이의 전기적 반발력은 중력의 약 10⁴²배입니다. 우리가 중력만 느끼며 사는 이유는 세상 대부분이 전기적으로 중성이기 때문이죠.

비례상수 k는 진공에서 약 9 × 10⁹ N·m²/C²이고, 유전율 ε₀를 써서 k = 1/(4πε₀)로 씁니다. 4π가 튀어나오는 이유가 있습니다. 전하에서 나온 영향이 구면으로 퍼지기 때문입니다. 반지름 r인 구의 겉넓이가 4πr²이므로, 퍼진 것을 넓이로 나누면 자연히 이 꼴이 됩니다. 거리의 제곱에 반비례하는 것도 같은 이유입니다.

매질이 바뀌면 힘이 줄어듭니다

진공이 아니라 기름이나 물 속에 전하를 두면 힘이 약해집니다. 매질의 분자들이 전기장에 반응해 반대 방향으로 정렬하며 원래 장을 상쇄하기 때문입니다. 이 성질을 나타내는 값이 비유전율 εs이고, 진공을 1로 놓고 잽니다.

물의 비유전율이 80이라는 것은 물속에서 전기력이 80분의 1로 줄어든다는 뜻입니다. 소금이 물에 잘 녹는 이유가 여기 있습니다. 나트륨 이온과 염소 이온을 붙들던 전기력이 물속에서 80분의 1로 약해지니 열운동만으로도 떨어져 나가죠.

힘이 아니라 장으로 생각하기

전하가 여럿이면 힘을 일일이 계산하기가 번거롭습니다. 그래서 발상을 바꿉니다. 전하가 주변 공간을 바꿔 놓았다고 보는 것이죠. 그 바뀐 공간이 전계(전기장, E) 입니다.

전계는 그 자리에 1쿨롱의 전하를 놓았을 때 받을 힘으로 정의합니다. 단위는 V/m 또는 N/C입니다. 전계를 알면 어떤 전하 Q를 놓든 받는 힘은 F = QE로 바로 나옵니다.

이 전환이 중요한 이유는 중첩의 원리 때문입니다. 전하가 여러 개면 각각이 만드는 전계를 벡터로 더하면 됩니다. 크기만 더하는 것이 아니라 방향까지 고려해 더해야 한다는 점이 시험에서 자주 함정이 됩니다. 크기가 같은 두 전계가 마주 보면 합은 0입니다.

패러데이는 이 전계를 역선(전기력선) 으로 그렸습니다. 양전하에서 나와 음전하로 들어가고, 선의 밀도가 전계의 세기이며, 서로 교차하지 않습니다. 교차할 수 없는 이유는 한 점에서 전계의 방향이 둘일 수 없기 때문이죠.

무한히 긴 것과 무한히 넓은 것

시험이 좋아하는 세 가지 모양이 있습니다. 거리에 따른 감소 방식이 각각 다릅니다.

점전하의 전계는 거리의 제곱에 반비례합니다. 구면으로 퍼지니까요.

무한히 긴 직선 도선의 전계는 거리에 단순 반비례합니다. 원통면으로 퍼지기 때문입니다. 원통의 옆면 넓이는 반지름에 비례하지 제곱에 비례하지 않죠.

무한히 넓은 평면의 전계는 거리와 무관하게 일정합니다. 퍼지지 않기 때문입니다. 아무리 멀어져도 넓이가 그대로라 밀도가 줄지 않습니다.

이 세 가지를 외우려 하지 마시고 어떤 모양으로 퍼지는가로 생각하시면 매번 다시 만들 수 있습니다. 이것을 체계화한 것이 가우스 법칙입니다. 닫힌 면을 뚫고 나가는 전기력선의 총량은 그 안에 든 전하의 양으로만 정해지고, 전하가 어디에 어떻게 놓였는지는 상관없다는 법칙이죠. 대칭이 좋은 상황에서는 이 법칙 하나로 적분 없이 답이 나옵니다.

인출 문제

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