회로이론 1강. 교류회로의 기초
교류를 복소수로 다루는 이유는 멋을 부리려는 것이 아니라, 미분방정식을 사칙연산으로 바꾸기 위해서입니다.
풀고 시작
실효값이라는 약속
교류 전압은 매 순간 변합니다. 그런데 220V라고 말하죠. 이 값이 실효값(RMS) 입니다.
정의가 실용적입니다. 같은 저항에서 같은 열을 내는 직류의 값입니다. 사인파의 실효값은 최댓값을 √2로 나눈 값이고, 그래서 우리나라 가정용 220V의 최댓값은 약 311V입니다. 콘센트의 절연은 이 311V를 견뎌야 하죠.
여기서 파형을 나타내는 두 값이 나옵니다. 파고율은 최댓값을 실효값으로 나눈 값이고 사인파에서 √2입니다. 파형률은 실효값을 평균값으로 나눈 값입니다. 파형이 뾰족할수록 파고율이 커지죠.
교류에서는 주파수도 정해야 합니다. 우리나라와 미국은 60Hz, 유럽과 일본 동부는 50Hz입니다. 주파수가 다르면 같은 전동기라도 속도가 달라지고 변압기의 자속도 달라집니다.
미분을 곱셈으로 바꾸기
교류 회로를 시간 함수 그대로 풀면 미분방정식이 됩니다. 코일의 전압이 전류의 미분에 비례하기 때문이죠. 회로가 조금만 복잡해져도 손을 대기 어렵습니다.
그래서 페이저(phasor) 를 씁니다. 사인파를 크기와 위상을 가진 복소수 하나로 나타내는 것이죠. 이렇게 하면 미분이 jω를 곱하는 것으로 바뀝니다. 미분방정식이 대수방정식이 되는 것입니다.
이 관점에서 세 소자는 이렇게 정리됩니다.
| 소자 | 임피던스 | 위상 |
|---|---|---|
| 저항 R | R | 전압과 전류가 동상입니다 |
| 코일 L | jωL | 전류가 90도 뒤집니다 |
| 콘덴서 C | 1/(jωC) | 전류가 90도 앞섭니다 |
코일의 리액턴스는 주파수에 비례하고 콘덴서는 반비례합니다. 그래서 코일은 높은 주파수를 막고 콘덴서는 통과시킵니다. 이 성질이 필터의 바탕이 되죠.
임피던스 Z = R + jX에서 실수부가 저항, 허수부가 리액턴스입니다. X가 양수면 유도성(전류 지상), 음수면 용량성(전류 진상)입니다.
공진이라는 특별한 상태
코일과 콘덴서가 함께 있으면 특별한 주파수에서 둘의 리액턴스가 크기는 같고 부호가 반대가 되어 서로를 지웁니다. 이것이 공진입니다.
직렬 공진에서는 임피던스가 저항만 남아 최소가 되고, 그래서 전류가 최대가 됩니다. 이때 코일과 콘덴서 각각에 걸리는 전압은 전원 전압보다 훨씬 클 수 있습니다. 서로 상쇄되어 합이 0일 뿐 각각은 큰 값이죠. 이것을 모르면 소자가 파괴됩니다.
병렬 공진은 반대입니다. 임피던스가 최대가 되고 전원에서 흘러 들어가는 전류가 최소가 됩니다. 대신 코일과 콘덴서 사이에서는 큰 전류가 돌고 있습니다.
공진의 날카로움을 나타내는 값이 선택도 Q입니다. Q가 클수록 공진 주파수 부근만 좁게 골라내죠. 라디오 동조 회로가 이 성질로 방송국 하나를 고릅니다.
앞 과목에서 본 소호 리액터 접지가 병렬 공진을 이용한 것이고, 역률 개선용 콘덴서에 직렬 리액터를 다는 것도 특정 차수 고조파에서 원치 않는 공진이 일어나지 않게 하려는 것입니다.