회로이론 3강. 과도현상과 라플라스
스위치를 켠 직후의 짧은 순간을 다루는 수학이 있습니다. 그 순간이 기기를 부수기 때문입니다.
풀고 시작
켠 직후의 짧은 순간
정상 상태의 회로는 다루기 쉽습니다. 문제는 바뀌는 순간입니다. 스위치를 켜거나 끄는 그 짧은 시간에 무슨 일이 일어나는지를 다루는 것이 과도현상입니다.
바탕에 깔린 원리는 둘입니다. 코일의 전류는 갑자기 변할 수 없고, 콘덴서의 전압은 갑자기 변할 수 없습니다. 각각 자기에너지와 전기에너지를 품고 있는데, 에너지가 순간적으로 바뀌려면 무한한 전력이 필요하기 때문입니다.
이 두 문장에서 초기 조건이 나옵니다. 코일이 든 회로에서 스위치를 켠 직후 전류는 0이고, 콘덴서가 든 회로에서 켠 직후 전압은 0입니다. 그래서 코일은 처음에 개방처럼, 콘덴서는 처음에 단락처럼 행동하죠. 시간이 충분히 지나면 반대가 됩니다.
시정수(τ) 는 이 변화의 빠르기입니다. RL 회로에서는 L/R, RC 회로에서는 RC입니다. 한 시정수가 지나면 최종값의 약 63.2%에 이르고, 다섯 배쯤이면 사실상 정상 상태로 봅니다.
미분방정식을 대수로 바꾸는 두 번째 도구
앞 강에서 페이저가 사인파 정상 상태의 미분을 곱셈으로 바꿨습니다. 그런데 페이저는 정상 상태에서만 쓸 수 있습니다. 스위치를 켠 직후처럼 사인파가 아닌 상황은 다룰 수 없죠.
여기에 쓰는 도구가 라플라스 변환입니다. 시간 영역의 함수를 s 영역으로 옮기면 미분이 s를 곱하는 것, 적분이 s로 나누는 것이 됩니다. 초기 조건까지 식에 자연스럽게 들어가는 것이 장점이죠.
절차는 셋입니다. 회로 방정식을 s 영역으로 옮기고, 대수적으로 풀고, 역변환해 시간 함수로 되돌립니다. 역변환에서는 부분분수 분해를 자주 씁니다.
s 영역에서 소자는 이렇게 보입니다. 저항은 R, 코일은 sL, 콘덴서는 1/(sC)입니다. 페이저의 jω 자리에 s가 들어간 모양이죠. 실제로 s = jω를 넣으면 페이저 해석이 됩니다. 라플라스가 더 일반적인 도구이고 페이저는 그 특수한 경우입니다.
감쇠의 세 가지 모습
저항과 코일과 콘덴서가 모두 있는 RLC 회로에서는 과도 응답이 세 가지로 갈립니다. 저항이 얼마나 큰지가 정합니다.
과제동은 저항이 큰 경우입니다. 진동 없이 천천히 최종값에 다가갑니다. 안전하지만 느립니다.
임계제동은 진동하지 않으면서 가장 빨리 도달하는 경계입니다. 계측기 바늘이 흔들리지 않고 곧장 자리를 잡게 하려면 이 상태로 설계합니다.
부족제동은 저항이 작은 경우로, 최종값을 넘었다가 되돌아오기를 반복하며 진동합니다. 이 진동이 기기에 무리를 주기도 하지만, 진동 자체가 목적이면 유용합니다.
이 구분은 회로에만 있는 것이 아닙니다. 자동차 서스펜션, 건물의 제진 장치, 그리고 다음 강에서 볼 제어계의 응답이 모두 같은 수학을 씁니다. 2차 시스템이라는 같은 형태를 갖기 때문입니다. 전기 회로에서 배운 감각이 그대로 제어공학으로 이어지는 지점입니다.