상관계수가 0이라고 두 변수가 무관한 것은 아닙니다. 직선으로 이어지는 관계가 없다는 뜻일 뿐입니다.
풀고 시작
문제 1. x가 -2, -1, 0, 1, 2이고 y가 x의 제곱인 4, 1, 0, 1, 4입니다. 두 변수의 피어슨 상관계수와 그 뜻으로 가장 알맞은 것은?
피어슨 상관계수는 직선 관계의 세기만 잽니다. 이 자료는 0을 기준으로 좌우가 대칭이라 직선으로는 설명되지 않아 상관계수가 0이지만, y는 x의 제곱으로 완전히 정해집니다. 그래서 상관분석 전에 산점도부터 그려 봐야 합니다.
가운데는 어디인가
자료를 요약하는 첫 질문은 "가운데가 어디냐"입니다. 평균은 모든 값을 더해 개수로 나눈 것이고, 중앙값은 크기순으로 늘어놓았을 때 가운데 오는 값, 최빈값은 가장 자주 나오는 값입니다. 좌우 대칭인 분포에서는 셋이 거의 같지만, 소득처럼 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포에서는 몇몇 큰 값이 평균을 끌어올려 평균, 중앙값, 최빈값 순으로 커집니다. 뉴스가 평균 소득보다 중위 소득을 자주 쓰는 이유입니다. 극단값의 영향을 줄이려고 위아래 일부를 잘라 내고 구한 평균을 절사평균이라고 합니다.
얼마나 흩어져 있나
흩어짐을 재는 가장 단순한 값은 최댓값에서 최솟값을 뺀 범위입니다. 극단값 두 개로만 정해져 불안정하죠. 분산은 평균에서 떨어진 거리를 제곱해 평균 낸 것이고, 그 제곱근인 표준편차는 원래 단위로 흩어짐을 보여 줍니다. 가운데 50퍼센트가 퍼진 폭인 사분위범위는 극단값에 덜 흔들립니다.
단위나 평균 수준이 다른 두 자료의 흩어짐을 비교할 때는 변동계수(CV)를 씁니다. 표준편차를 평균으로 나눈 값이라 단위가 사라집니다. 키의 표준편차 6센티미터와 몸무게의 표준편차 9킬로그램은 그대로 비교할 수 없지만, 평균으로 나눈 비율로는 비교할 수 있습니다.
분포의 모양은 두 값으로 봅니다. 왜도(skewness)는 치우침입니다. 0이면 대칭, 양수면 오른쪽 꼬리가 길고, 음수면 왼쪽 꼬리가 깁니다. 첨도(kurtosis)는 봉우리의 뾰족함과 꼬리의 두께입니다. 정규분포의 첨도는 3이고, 여기서 3을 뺀 초과첨도로 적으면 0입니다. 첨도가 크면 극단값이 정규분포보다 자주 나옵니다.
R의 var와 sd는 6강에서 본 대로 n−1로 나눈 표본 분산과 표본 표준편차입니다. 한 가지 함정도 있습니다. R의 mode 함수는 최빈값이 아니라 저장 형식을 돌려줍니다. 최빈값은 table로 빈도를 세서 직접 찾아야 합니다.
그래프로 먼저 보기
숫자 요약 전에 그래프로 보는 것이 탐색적 자료 분석(EDA)의 출발입니다. 연속형 변수 하나의 분포는 히스토그램으로, 범주형 변수의 빈도는 막대그래프로 봅니다. 상자그림은 중앙값, 사분위수, 이상값을 한 그림에 담아 여러 집단을 나란히 비교하기 좋습니다. 두 연속형 변수의 관계는 산점도로 봅니다.
상관분석
두 변수가 함께 움직이는 정도를 재는 첫 값은 공분산입니다. 그런데 공분산은 단위에 따라 크기가 달라져, 키를 센티미터에서 밀리미터로 바꾸면 열 배가 됩니다. 이를 두 표준편차로 나눠 단위를 없앤 것이 피어슨 상관계수이고, 늘 −1과 1 사이에 있습니다. 1에 가까우면 강한 양의 직선 관계, −1에 가까우면 강한 음의 직선 관계, 0에 가까우면 직선 관계가 약합니다.
피어슨 상관계수는 직선 관계만 재고 이상값에 민감합니다. 값 대신 순위로 상관을 구하는 스피어만 순위상관계수는 한쪽이 늘 때 다른 쪽도 늘기만 하면 곡선이어도 높게 나오고, 만족도 등급 같은 순서척도에도 쓸 수 있습니다. R에서는 cor(x, y, method = "spearman")처럼 방법을 바꿉니다. cor.test는 "모상관계수가 0이다"를 귀무가설로 두고 검정합니다.
마지막으로, 상관은 인과가 아닙니다. 아이스크림 판매량과 물놀이 사고는 함께 늘지만, 둘 다 기온이라는 제3의 변수가 움직인 결과입니다.
인출 문제
문제 1. 소득처럼 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포에서 평균, 중앙값, 최빈값의 크기 관계로 알맞은 것은?
오른쪽 꼬리의 큰 값들이 평균을 가장 많이 끌어올리고, 중앙값은 덜, 최빈값은 거의 영향을 받지 않습니다. 그래서 최빈값, 중앙값, 평균 순으로 커집니다.
문제 2. 변동계수를 쓰는 상황으로 가장 알맞은 것은?
변동계수는 표준편차를 평균으로 나눠 단위를 없앤 값이라, 키와 몸무게처럼 단위가 다른 자료의 상대적인 흩어짐을 비교할 수 있습니다.
문제 3. 피어슨 상관계수와 스피어만 순위상관계수의 차이로 옳은 것은?
스피어만은 값을 순위로 바꿔 계산하므로 단조로운 곡선 관계와 순서척도에 쓸 수 있고 이상값에도 덜 흔들립니다. 두 계수 모두 음수 1부터 1 사이의 값을 가집니다.
문제 4. 공분산 대신 상관계수를 쓰는 이유로 가장 알맞은 것은?
공분산은 단위를 바꾸면 값이 달라져 세기를 비교하기 어렵습니다. 상관계수는 두 표준편차로 나눠 음수 1에서 1 사이로 표준화한 값입니다. 상관계수도 인과를 알려 주지는 않습니다.
더 풀기
출제기준의 세부항목을 따라 이 강의 범위에서 새로 낸 문제입니다. 모의고사도 여기에서 뽑습니다.
묶음 1
문제 1. 1, 2, 3, 4, 100의 평균과 중앙값을 차례로 옳게 짝지은 것은?
합이 110이라 평균은 22이지만, 크기순으로 가운데 오는 값은 3입니다. 극단값 100 하나가 평균만 크게 끌어올렸습니다.
문제 2. 극단값의 영향을 줄이려고 위아래 일부를 잘라 내고 구한 평균은 무엇입니까?
절사평균은 정렬한 뒤 양 끝의 일정 비율을 버리고 평균을 구해 극단값에 덜 흔들립니다. 이동평균은 시계열에서 일정 구간씩 평균을 내는 방법입니다.
문제 3. 가장 자주 나오는 값을 무엇이라고 합니까?
최빈값은 빈도가 가장 높은 값으로 범주형 자료에도 쓸 수 있습니다. 혈액형처럼 평균을 낼 수 없는 자료의 대표값이 최빈값입니다.
문제 4. R에서 mode(c(1, 2, 2, 3))를 실행하면 무엇이 나옵니까?
R의 mode 함수는 최빈값이 아니라 객체의 저장 형식을 돌려주므로 "numeric"이 나옵니다. 최빈값은 table로 빈도를 세서 가장 큰 것을 찾아야 합니다.
문제 5. 범위(range)가 흩어짐의 척도로 불안정한 이유는 무엇입니까?
범위는 양 끝 두 값만 쓰므로 이상값이 하나 생기면 크게 바뀝니다. 사분위범위는 가운데 50퍼센트만 봐서 이 문제를 줄입니다.
문제 6. 분산과 표준편차의 관계로 옳은 것은?
분산은 편차를 제곱해 평균 낸 값이라 단위도 제곱이 됩니다. 제곱근을 씌운 표준편차는 원래 단위로 흩어짐을 보여 줍니다. 표준편차를 평균으로 나눈 것은 변동계수입니다.
문제 7. 극단값에 가장 덜 흔들리는 흩어짐의 척도는 무엇입니까?
사분위범위는 가운데 50퍼센트의 폭만 보므로 양 끝의 극단값이 바뀌어도 거의 변하지 않습니다. 분산과 표준편차는 편차를 제곱해 극단값의 영향이 더 커집니다.
문제 8. 키의 평균이 170센티미터에 표준편차 6.8센티미터이고, 몸무게의 평균이 65킬로그램에 표준편차 9.75킬로그램입니다. 상대적으로 더 흩어진 쪽은 어디입니까?
표준편차를 평균으로 나누면 키는 6.8을 170으로 나눈 0.04, 몸무게는 9.75를 65로 나눈 0.15입니다. 단위를 없앤 변동계수로 보면 몸무게가 훨씬 더 흩어져 있습니다.
문제 9. R에서 quantile(x)를 기본 설정으로 실행하면 보여 주는 값으로 옳은 것은?
quantile은 기본으로 최솟값, 1사분위수, 중앙값, 3사분위수, 최댓값 다섯 개를 돌려줍니다. 다른 위치는 probs 인자로 정합니다.
문제 10. R의 var 함수가 계산하는 분산으로 옳은 것은?
R의 var와 sd는 불편추정량인 표본 분산과 그 제곱근을 계산하므로 n−1로 나눕니다. 6강에서 본 불편성 때문입니다.
묶음 2
문제 1. 왜도가 양수인 분포의 모양으로 알맞은 것은?
왜도가 양수면 큰 값 쪽인 오른쪽으로 꼬리가 늘어집니다. 소득, 주택 가격, 대기 시간 같은 자료가 흔히 이런 모양입니다.
문제 2. 정규분포의 첨도에 관한 설명으로 옳은 것은?
정규분포의 첨도는 3이며, 흔히 여기서 3을 뺀 초과첨도로 적어 정규분포를 0에 맞춥니다. 소프트웨어마다 어느 쪽으로 보여 주는지 확인해야 합니다.
문제 3. 첨도가 정규분포보다 큰 분포의 특징으로 알맞은 것은?
첨도가 크면 값이 가운데 몰리는 동시에 꼬리도 두꺼워 극단적인 값이 자주 나옵니다. 치우침은 첨도가 아니라 왜도로 봅니다.
문제 4. 연속형 변수 하나의 분포 모양을 보기에 가장 알맞은 그래프는 무엇입니까?
히스토그램은 연속형 값을 구간으로 나눠 빈도를 막대로 그려 분포의 모양을 보여 줍니다. 막대그래프는 범주형 변수의 빈도를, 산점도는 두 변수의 관계를 봅니다.
문제 5. 여러 부서의 연봉 분포를 중앙값, 사분위수, 이상값까지 한눈에 나란히 비교하기에 가장 알맞은 그래프는 무엇입니까?
상자그림은 중앙값과 사분위수와 이상값을 한 그림에 담아 여러 집단을 옆으로 늘어놓고 비교하기 좋습니다.
문제 6. 두 연속형 변수의 관계를 상관계수로 요약하기 전에 먼저 해야 할 일로 가장 알맞은 것은?
피어슨 상관계수는 직선 관계만 재고 이상값에 민감하므로, 곡선 관계나 이상값이 있으면 숫자가 실제 관계를 왜곡합니다. 그래서 산점도로 먼저 봅니다.
문제 7. 키를 센티미터에서 밀리미터로 바꿔 적었을 때 키와 몸무게의 공분산과 상관계수는 각각 어떻게 됩니까?
공분산은 단위에 따라 크기가 달라져 한 변수를 열 배 하면 열 배가 됩니다. 상관계수는 표준편차로 나눠 단위를 없앤 값이라 바뀌지 않습니다.
문제 8. 피어슨 상관계수가 가질 수 있는 값의 범위로 옳은 것은?
피어슨 상관계수는 늘 음수 1과 1 사이에 있습니다. 1은 완전한 양의 직선 관계, 음수 1은 완전한 음의 직선 관계입니다.
문제 9. 상관계수가 음수 0.9로 나왔습니다. 옳은 해석은 무엇입니까?
절댓값이 1에 가까우면 관계가 강하고, 부호가 음수면 반대 방향으로 움직입니다. 그러나 상관계수만으로 원인과 결과를 말할 수는 없습니다.
문제 10. 만족도 등급(1~5단계)과 재구매 횟수의 관계를 볼 때 더 알맞은 상관계수는 무엇입니까?
만족도 등급은 간격이 같다고 보장할 수 없는 순서척도라 순위로 계산하는 스피어만 순위상관계수가 알맞습니다.
묶음 3
문제 1. 한쪽이 늘 때 다른 쪽도 늘기는 하지만 곡선 모양으로 느는 관계에서 더 높게 나오는 상관계수는 무엇입니까?
스피어만은 순위만 보므로 증가하는 관계라면 곡선이어도 순위가 완벽히 맞아 1에 가깝게 나옵니다. 피어슨은 직선에서 벗어난 만큼 낮아집니다.
문제 2. 산점도의 한쪽 끝에 이상값 하나가 크게 떨어져 있을 때 피어슨 상관계수에 일어나는 일로 알맞은 것은?
피어슨 상관계수는 평균과 편차로 계산해 극단값 하나에 크게 흔들립니다. 그래서 이상값이 있으면 스피어만 순위상관을 함께 보거나 이상값을 먼저 살핍니다.