데이터분석 5강. 표본과 척도

섭씨 20도는 10도보다 두 배 덥지 않습니다. 숫자로 적혀 있다고 해서 모든 계산이 허락되는 것은 아닙니다.

풀고 시작

문제 1. 섭씨온도가 속하는 척도와 그 이유로 가장 알맞은 것은?

섭씨 0도는 물이 어는 점일 뿐 열이 없다는 뜻이 아니므로 절대 영점이 없습니다. 그래서 10도와 20도의 차이가 10도라는 말은 되지만 20도가 두 배 덥다는 말은 되지 않습니다. 이런 척도가 구간척도입니다.

모집단과 표본

알고 싶은 대상 전체를 모집단(population), 실제로 조사한 일부를 표본(sample)이라고 합니다. 모집단 전체를 조사하는 전수조사는 정확하지만 비용과 시간이 많이 들어, 대부분은 표본을 뽑아 모집단을 추측합니다. 모집단의 특성을 나타내는 값을 모수(parameter), 표본에서 계산한 값을 통계량(statistic)이라고 부릅니다. 모평균은 모수이고 표본평균은 통계량이죠.

표본을 뽑는 방법은 네 가지를 구분해야 합니다.

방법	뽑는 방식	잘 맞는 경우
단순무작위추출	모든 대상이 똑같은 확률로 뽑힙니다	모집단 목록이 있을 때
계통추출	번호를 매기고 첫 대상을 무작위로 고른 뒤 일정 간격마다 뽑습니다	목록에 주기가 없을 때
층화추출	성별이나 연령처럼 층을 나누고 층마다 무작위로 뽑습니다	층 안은 비슷하고 층끼리는 다를 때
군집추출	학교나 동네 같은 군집을 무작위로 골라 그 안을 조사합니다	군집마다 모집단의 축소판일 때

층화추출과 군집추출은 방향이 반대라서 자주 헷갈립니다. 층화는 모든 층에서 조금씩 뽑고, 군집은 몇 개 군집만 골라 그 안을 통째로 봅니다. 그래서 층은 안이 서로 비슷해야 효율적이고, 군집은 안이 모집단만큼 다양해야 효율적입니다.

표본으로 추측하면 오차가 생깁니다. 표본이 우연히 모집단과 다르게 뽑혀 생기는 표본오차는 표본을 키우면 줄어듭니다. 반면 질문을 잘못 만들었거나 응답자가 거짓으로 답하거나 입력을 틀려서 생기는 비표본오차는 표본을 키워도 줄지 않습니다. 특정 집단만 뽑히는 표본 편향도 비표본오차의 한 모습입니다.

척도: 숫자가 허락하는 계산

심리학자 스탠리 스티븐스(Stanley Stevens)가 1946년에 정리한 네 척도는 어떤 계산이 의미를 갖는지로 갈립니다.

척도	알 수 있는 것	예
명목척도	같은지 다른지	성별, 혈액형, 지역
순서척도	순서	만족도 등급, 학년, 등수
구간척도	순서와 차이	섭씨온도, 연도
비율척도	순서, 차이, 배수	키, 무게, 소득, 나이

비율척도는 0이 정말로 "없음"을 뜻하는 절대 영점이 있어 몇 배인지 말할 수 있습니다. 소득 0원은 소득이 없다는 뜻이니 400만 원은 200만 원의 두 배입니다. 명목척도와 순서척도는 질적 자료(범주형), 구간척도와 비율척도는 양적 자료(수치형)로 묶습니다. 양적 자료는 다시 사람 수처럼 셀 수 있는 이산형과 키처럼 끊김 없이 이어지는 연속형으로 나뉩니다.

확률변수와 대표적인 분포

값이 확률에 따라 정해지는 변수를 확률변수라고 합니다. 확률변수의 평균적인 값이 기댓값이고, 값에 확률을 곱해 모두 더해 구합니다. 기댓값과 분산에는 쓸모 있는 성질이 있습니다. 확률변수 X를 a배 하고 b를 더하면 기댓값은 a배 하고 b를 더한 값이 되지만, 분산은 a의 제곱배가 되고 b는 영향을 주지 않습니다. 모두에게 똑같이 더한 값은 흩어짐을 바꾸지 못하기 때문이죠.

이산형 분포로는 성공 확률이 p인 시행을 n번 독립으로 했을 때 성공 횟수를 세는 이항분포가 대표적입니다. 평균은 np, 분산은 np(1−p)입니다. 한 시간에 걸려 오는 전화 수처럼 일정한 구간에서 드물게 일어나는 사건의 수는 포아송분포를 따르며, 평균과 분산이 같다는 특징이 있습니다. 연속형 분포의 중심은 정규분포입니다. 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양이고, 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 한 점에 모입니다. 평균에서 표준편차 한 배 안에 약 68퍼센트, 두 배 안에 약 95퍼센트, 세 배 안에 약 99.7퍼센트가 들어갑니다. 연속형 확률변수는 특정한 한 점의 확률이 0이라서 확률을 구간으로 따진다는 점도 기억해 두세요.

인출 문제

문제 1. 층화추출에 관한 설명으로 가장 적절한 것은?

층화추출은 모든 층을 빠짐없이 대표하게 하려는 방법이라 층 안이 동질적일수록 적은 표본으로 정확해집니다. 몇 개만 골라 통째로 보는 것은 군집추출이고, 간격마다 뽑는 것은 계통추출입니다.

문제 2. 표본 수를 늘려도 줄어들지 않는 오차는 무엇입니까?

비표본오차는 조사 과정 자체의 잘못에서 오므로 표본을 키워도 그대로 남습니다. 우연에서 오는 표본오차와 그 크기를 나타내는 표준오차는 표본을 키우면 줄어듭니다.

문제 3. 다음 가운데 비율척도로 재는 것은 무엇입니까?

소득 0원은 소득이 없다는 뜻이라 절대 영점이 있고, 400만 원이 200만 원의 두 배라는 말이 성립합니다. 섭씨온도는 구간척도, 만족도 등급은 순서척도, 혈액형은 명목척도입니다.

문제 4. 포아송분포의 특징으로 옳은 것은?

포아송분포는 한 시간에 오는 전화 수처럼 사건의 수를 세는 이산형 분포이고, 평균과 분산이 같다는 것이 가장 큰 특징입니다. 종 모양 연속형은 정규분포, n번 시행의 성공 횟수는 이항분포입니다.

더 풀기

출제기준의 세부항목을 따라 이 강의 범위에서 새로 낸 문제입니다. 모의고사도 여기에서 뽑습니다.

묶음 1

문제 1. 모수와 통계량을 옳게 짝지은 것은?

모수는 모집단의 특성을 나타내는 값이고, 통계량은 표본에서 계산한 값입니다. 우리는 대개 통계량으로 알 수 없는 모수를 추측합니다.

문제 2. 전수조사 대신 표본조사를 하는 가장 큰 이유로 알맞은 것은?

전수조사는 원칙적으로 표본오차가 없지만 비용과 시간이 커서 대부분 표본으로 모집단을 추측합니다. 표본조사에는 표본오차가 따릅니다.

문제 3. 명단에 번호를 매기고 첫 사람을 무작위로 고른 뒤 열 번째마다 뽑았습니다. 이 방법은 무엇입니까?

일정 간격마다 뽑는 방법이 계통추출입니다. 명단에 일정한 주기가 있으면 그 주기와 간격이 맞물려 편향이 생길 수 있다는 점을 조심해야 합니다.

문제 4. 계통추출에서 특히 조심해야 할 상황으로 가장 알맞은 것은?

예를 들어 열 집마다 모퉁이 집이 오는 명단에서 열 번째마다 뽑으면 모퉁이 집만 뽑힐 수 있습니다. 주기와 간격이 맞물리면 표본이 한쪽으로 쏠립니다.

문제 5. 전국 학교 가운데 스무 곳을 무작위로 골라 그 학교의 학생을 모두 조사했습니다. 이 방법은 무엇입니까?

학교라는 군집을 무작위로 골라 그 안을 통째로 조사했으므로 군집추출입니다. 모든 학교에서 조금씩 뽑았다면 층화추출에 가깝습니다.

문제 6. 군집추출이 효율적이려면 군집이 어떤 모습이어야 합니까?

몇 개의 군집만 보고 전체를 추측하므로 각 군집이 모집단의 축소판일수록 좋습니다. 안이 비슷하고 서로 달라야 효율적인 것은 층화추출의 층입니다.

문제 7. 성별과 연령대로 모집단을 나눈 뒤 각 집단에서 인구 비율만큼 무작위로 뽑았습니다. 이 방법은 무엇입니까?

모집단을 층으로 나누고 모든 층에서 뽑았으므로 층화추출입니다. 이렇게 하면 어느 성별이나 연령대도 빠지지 않아 대표성이 높아집니다.

문제 8. 인터넷 게시판에 설문 링크를 올려 자발적으로 응답한 사람만 모았습니다. 이 표본의 가장 큰 문제로 알맞은 것은?

스스로 응답한 사람은 관심이 많거나 의견이 강한 쪽으로 쏠리기 쉽습니다. 이런 편향은 조사 방법에서 오는 비표본오차라 표본을 늘려도 사라지지 않습니다.

문제 9. 표본오차에 관한 설명으로 가장 적절한 것은?

표본오차는 일부만 뽑았기 때문에 생기는 우연한 차이라 표본이 커질수록 작아집니다. 거짓 응답이나 입력 실수는 비표본오차입니다.

문제 10. 질문 문구가 한쪽 답을 유도하도록 만들어져 결과가 치우쳤습니다. 이 오차는 무엇입니까?

질문 설계의 잘못은 표본을 어떻게 뽑든 결과를 비트는 비표본오차입니다. 그래서 표본을 늘려도 바로잡히지 않습니다.

묶음 2

문제 1. 척도를 네 가지로 정리한 사람으로 옳은 것은?

스탠리 스티븐스가 1946년에 명목, 순서, 구간, 비율의 네 척도를 정리했습니다. 도널드 루빈은 결측 유형, 존 튜키는 상자그림으로 알려져 있습니다.

문제 2. 혈액형이 속하는 척도는 무엇입니까?

혈액형은 서로 같은지 다른지만 가를 뿐 순서도 크기도 없으므로 명목척도입니다. A형을 1, B형을 2로 적어도 그 숫자는 이름표일 뿐입니다.

문제 3. 만족도를 매우 불만, 불만, 보통, 만족, 매우 만족으로 물었습니다. 이 자료의 척도는 무엇입니까?

다섯 단계에는 순서가 있지만 단계 사이의 간격이 같다고 보장할 수 없어 순서척도입니다. 순서만 알 수 있을 뿐 차이나 배수는 말할 수 없습니다.

문제 4. 구간척도와 비율척도를 가르는 기준으로 옳은 것은?

두 척도 모두 순서와 차이를 알 수 있지만 절대 영점이 있어야 몇 배인지 말할 수 있습니다. 그래서 절대 영점이 있으면 비율척도, 없으면 구간척도입니다.

문제 5. 다음 가운데 "몇 배"라는 비교가 의미를 갖는 것은 무엇입니까?

무게는 0이 무게가 없다는 뜻인 비율척도라 20킬로그램이 10킬로그램의 두 배입니다. 섭씨온도와 연도는 구간척도, 만족도 점수는 순서척도라 배수 비교가 의미를 갖지 않습니다.

문제 6. 질적 자료로만 짝지은 것은?

명목척도와 순서척도는 범주를 나타내는 질적 자료이고, 구간척도와 비율척도는 크기를 재는 양적 자료입니다.

문제 7. 다음 가운데 이산형 자료는 무엇입니까?

자녀 수는 0명, 1명, 2명처럼 셀 수 있는 값만 가지므로 이산형입니다. 키와 몸무게와 기록은 끊김 없이 이어지는 연속형입니다.

문제 8. 확률변수 X의 기댓값이 10이고 분산이 4일 때 2X + 3의 기댓값과 분산은 각각 얼마입니까?

기댓값은 2배 한 뒤 3을 더해 23이 됩니다. 분산은 곱한 수의 제곱인 4배가 되어 16이고, 더한 3은 모두에게 같이 더해져 흩어짐을 바꾸지 못하므로 영향이 없습니다.

문제 9. 모든 사람의 점수에 똑같이 5점을 더했을 때 분산에 일어나는 일로 옳은 것은?

모두에게 같은 값을 더하면 분포 전체가 옆으로 옮겨 갈 뿐 흩어진 정도는 그대로입니다. 평균만 5점 올라갑니다.

문제 10. 기댓값을 구하는 방법으로 옳은 것은?

기댓값은 값마다 확률로 가중치를 준 평균입니다. 가장 자주 나오는 값은 최빈값, 가운데 값은 중앙값입니다.

묶음 3

문제 1. 불량률이 0.1인 제품 10개를 독립으로 검사할 때 불량품 수가 따르는 분포와 그 평균으로 옳은 것은?

성공 확률이 p인 시행을 n번 독립으로 할 때 성공 횟수는 이항분포를 따르고 평균은 np입니다. 10 곱하기 0.1이라 평균은 1입니다.

문제 2. 이항분포의 분산으로 옳은 것은?

이항분포의 평균은 np, 분산은 np(1−p)입니다. p가 0.5일 때 분산이 가장 크고, 0이나 1에 가까울수록 작아집니다.

문제 3. 한 콜센터에 한 시간 동안 걸려 오는 전화 수를 나타내기에 가장 알맞은 분포는 무엇입니까?

일정한 시간 동안 드물게 일어나는 사건의 수는 포아송분포로 나타냅니다. 이항분포와 달리 시행 횟수 n이 정해져 있지 않습니다.

문제 4. 포아송분포를 따르는 사건 수의 평균이 3이라면 분산은 얼마입니까?

포아송분포는 평균과 분산이 같으므로 분산도 3입니다. 실제 데이터에서 분산이 평균보다 훨씬 크면 포아송분포가 잘 맞지 않는다는 신호입니다.

문제 5. 정규분포에 관한 설명으로 옳지 않은 것은?

정규분포는 좌우 대칭이라 한쪽으로 꼬리가 길지 않고 평균과 중앙값이 같습니다. 오른쪽 꼬리가 긴 것은 소득 같은 비대칭 분포의 모습입니다.

문제 6. 정규분포에서 평균으로부터 표준편차 두 배 안에 들어가는 비율은 약 얼마입니까?

정규분포에서는 표준편차 한 배 안에 약 68퍼센트, 두 배 안에 약 95퍼센트, 세 배 안에 약 99.7퍼센트가 들어갑니다.

문제 7. 연속형 확률변수에서 특정한 한 값이 정확히 나올 확률은 얼마입니까?

연속형 확률변수는 셀 수 없이 많은 값을 가질 수 있어 한 점의 확률은 0입니다. 그래서 키가 170에서 175 사이일 확률처럼 구간으로 따집니다.

문제 8. 4강에서 평균으로부터 표준편차 세 배 넘게 떨어진 값을 이상값으로 봤습니다. 정규분포에서 그런 값이 드문 이유로 알맞은 것은?

정규분포를 가정하면 세 배 바깥은 천 번에 세 번꼴로만 나오므로 그런 값을 이상값 후보로 봅니다. 드물 뿐 존재할 수 없는 것은 아닙니다.

문제 9. 연도는 어떤 척도에 속합니까?

연도는 차이를 말할 수 있지만 0년이 시간이 없다는 뜻이 아니므로 절대 영점이 없습니다. 그래서 2000년이 1000년의 두 배라는 말은 의미가 없어 구간척도입니다.

문제 10. 표본과 척도에 관한 진술로 옳지 않은 것은?

섭씨 0도는 열이 없다는 뜻이 아니라서 섭씨온도에는 절대 영점이 없고, 배수 비교가 의미를 갖지 않는 구간척도입니다. 나머지 셋은 옳은 진술입니다.

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