데이터분석 6강. 추정과 가설검정

p값은 귀무가설이 맞을 확률이 아닙니다. 귀무가설이 맞다고 쳤을 때 지금만큼 극단적인 결과가 나올 확률입니다.

풀고 시작

문제 1. 어떤 검정에서 p값이 0.03이 나왔습니다. 이 값의 뜻으로 가장 알맞은 것은?

p값은 귀무가설을 참으로 가정한 상태에서 계산한 확률이라, 가설 자체가 맞을 확률을 말해 주지 않습니다. 유의수준을 0.05로 정했다면 0.03은 그보다 작으므로 귀무가설을 기각합니다.

표본평균은 어떻게 흔들리나

표본을 새로 뽑을 때마다 표본평균은 조금씩 달라집니다. 표본평균이 이렇게 흔들리는 모양을 표본분포라고 하고, 그 흔들림의 크기인 표준편차를 표준오차(standard error)라고 부릅니다. 표준오차는 모표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값이라, 표본을 네 배로 늘리면 절반으로 줄어듭니다.

중심극한정리는 모집단이 어떤 분포이든 표본이 충분히 크면 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워진다는 정리입니다. 흔히 표본 30개 정도를 기준으로 삼습니다. 모집단이 한쪽으로 치우쳐 있어도 평균을 추정할 때 정규분포를 쓸 수 있는 근거가 이것입니다.

모표준편차를 모를 때는 표본 표준편차로 대신하는데, 그만큼 불확실성이 더해져 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 t분포를 씁니다. 기네스 양조장에서 일하던 윌리엄 고셋이 1908년 "스튜던트"라는 필명으로 발표한 분포입니다. t분포는 자유도가 커질수록 정규분포에 가까워집니다. 이 밖에 분산을 다룰 때는 0 이상의 값만 갖고 오른쪽으로 꼬리가 긴 카이제곱분포를, 두 분산의 비를 비교할 때는 F분포를 씁니다.

점추정과 구간추정

모수를 값 하나로 짚는 것을 점추정이라고 합니다. 좋은 추정량은 평균적으로 모수를 맞히는 불편성, 흔들림이 작은 효율성, 표본이 커질수록 모수에 다가가는 일치성을 갖춰야 합니다. 표본분산을 n이 아니라 n−1로 나누는 이유가 불편성입니다. n으로 나누면 평균적으로 모분산보다 작게 나옵니다.

값 하나는 틀리기 쉬우니 범위로 말하는 것이 구간추정입니다. 모표준편차를 알 때 모평균의 95퍼센트 신뢰구간은 표본평균에서 1.96 곱하기 표준오차를 빼고 더한 범위입니다. 여기서 95퍼센트의 뜻을 정확히 알아야 합니다. 같은 방법으로 표본을 뽑아 구간을 백 번 만들면 그 가운데 약 95개가 모수를 품는다는 뜻입니다. 이미 만든 구간 하나에 모수가 들어 있을 확률이 95퍼센트라는 뜻이 아닙니다. 신뢰수준을 99퍼센트로 올리면 구간이 넓어지고, 표본을 키우면 구간이 좁아집니다.

가설검정과 두 가지 오류

귀무가설은 "차이가 없다, 효과가 없다"처럼 기본으로 두는 가설이고, 대립가설은 입증하고 싶은 주장입니다. 검정은 귀무가설이 맞다고 가정하고 관측 결과가 얼마나 드문지 p값으로 따집니다. p값이 미리 정한 유의수준(흔히 0.05)보다 작으면 귀무가설을 기각합니다.

	귀무가설이 실제로 참	귀무가설이 실제로 거짓
귀무가설 기각	제1종 오류(확률 α)	옳은 판단(검정력 1−β)
귀무가설 채택	옳은 판단	제2종 오류(확률 β)

제1종 오류는 효과가 없는데 있다고 판단하는 것이고, 그 확률의 상한이 유의수준 α입니다. 제2종 오류는 효과가 있는데 놓치는 것입니다. 표본 크기가 같다면 α를 줄일수록 β는 커지므로 둘을 함께 줄이려면 표본을 키워야 합니다.

무엇을 비교하느냐에 따라 고르는 검정

상황	모수 검정	비모수 검정
같은 대상의 전후 비교	대응표본 t검정	윌콕슨 부호순위검정
독립된 두 집단 비교	독립표본 t검정	만-위트니 U검정
셋 이상 집단 비교	분산분석(ANOVA)	크루스칼-왈리스 검정

모수 검정은 모집단이 정규분포를 따른다는 식의 분포 가정을 둡니다. 표본이 작거나 정규성이 의심되면 값 대신 순위나 부호를 쓰는 비모수 검정을 고릅니다. 정규성은 R의 shapiro.test로 확인하는데, 귀무가설이 "정규분포를 따른다"이므로 p값이 작으면 정규성을 기각합니다. 두 범주형 변수가 서로 관련 있는지는 카이제곱 독립성 검정으로 봅니다.

인출 문제

문제 1. 중심극한정리의 내용으로 가장 알맞은 것은?

중심극한정리는 모집단이 아니라 표본평균의 분포에 관한 정리입니다. 표본이 커지면 표본평균은 정규분포에 가까워지고 표준오차는 오히려 작아집니다.

문제 2. 95퍼센트 신뢰구간의 뜻으로 가장 알맞은 것은?

모수는 정해진 값이고 흔들리는 것은 구간입니다. 그래서 95퍼센트는 구간을 만드는 방법이 얼마나 자주 모수를 잡아내는지를 뜻합니다.

문제 3. 제1종 오류에 관한 설명으로 옳은 것은?

제1종 오류는 효과가 없는데 있다고 판단하는 잘못입니다. 귀무가설이 거짓인데 채택하는 것은 제2종 오류이고 그 확률이 β입니다.

문제 4. 같은 환자들의 약 복용 전후 혈압을 비교하되 표본이 작고 정규성이 의심됩니다. 가장 알맞은 검정은 무엇입니까?

같은 대상의 전후 비교이므로 짝을 이룬 자료이고, 정규성이 의심되니 비모수 검정인 윌콕슨 부호순위검정을 씁니다. 정규성이 괜찮았다면 대응표본 t검정을 씁니다.

더 풀기

출제기준의 세부항목을 따라 이 강의 범위에서 새로 낸 문제입니다. 모의고사도 여기에서 뽑습니다.

묶음 1

문제 1. 표본평균의 표준편차를 무엇이라고 부릅니까?

표본을 거듭 뽑을 때 표본평균이 흔들리는 정도를 표준오차라고 합니다. 모표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눠 구합니다.

문제 2. 표본 크기를 네 배로 늘리면 표본평균의 표준오차는 어떻게 됩니까?

표준오차는 표본 크기의 제곱근에 반비례하므로, 크기가 네 배가 되면 제곱근은 두 배가 되어 표준오차는 절반이 됩니다.

문제 3. 모집단이 오른쪽으로 크게 치우친 분포인데도 표본이 충분히 크면 모평균의 신뢰구간에 정규분포를 쓸 수 있는 근거는 무엇입니까?

모집단의 모양은 그대로이지만 표본평균의 분포는 표본이 커질수록 정규분포에 가까워집니다. 그래서 평균에 관한 추론에는 정규분포를 쓸 수 있습니다.

문제 4. t분포를 쓰는 상황으로 가장 알맞은 것은?

모표준편차를 표본에서 추정하면 불확실성이 더해져 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 t분포를 씁니다. 두 분산의 비는 F분포로, 범주형 변수의 관련성은 카이제곱분포로 봅니다.

문제 5. t분포의 특징으로 옳은 것은?

t분포는 0을 중심으로 대칭이지만 꼬리가 두껍고, 자유도가 커질수록 표준정규분포와 거의 같아집니다. 0 이상만 갖고 오른쪽 꼬리가 긴 것은 카이제곱분포입니다.

문제 6. t분포를 "스튜던트"라는 필명으로 발표한 사람은 누구입니까?

기네스 양조장에서 일하던 윌리엄 고셋이 1908년에 스튜던트라는 필명으로 발표했습니다. 그래서 스튜던트 t분포라고도 부릅니다.

문제 7. 두 집단의 분산이 같은지 비교할 때 쓰는 분포는 무엇입니까?

F분포는 두 분산의 비가 따르는 분포라 등분산 검정과 분산분석에 씁니다. t분포는 평균, 카이제곱분포는 분산 하나나 범주형 자료의 검정에 씁니다.

문제 8. 카이제곱분포의 특징으로 옳은 것은?

카이제곱분포는 표준정규 변수를 제곱해 더한 분포라 음수가 나올 수 없고 오른쪽으로 치우쳐 있습니다. 자유도가 커지면 점점 대칭에 가까워집니다.

문제 9. 추정량이 평균적으로 모수를 정확히 맞히는 성질을 무엇이라고 합니까?

추정량의 기댓값이 모수와 같으면 불편성을 가진다고 합니다. 효율성은 흔들림이 작은 성질, 일치성은 표본이 커질수록 모수에 다가가는 성질입니다.

문제 10. 표본분산을 구할 때 편차 제곱합을 n이 아니라 n−1로 나누는 이유는 무엇입니까?

표본평균을 기준으로 편차를 재면 모평균 기준보다 편차가 작아지는 경향이 있습니다. n−1로 나누면 이 치우침이 바로잡혀 기댓값이 모분산과 같아집니다.

묶음 2

문제 1. 표본이 커질수록 추정량이 모수에 점점 다가가는 성질은 무엇입니까?

일치성은 표본 크기가 커질수록 추정량이 모수로 수렴하는 성질입니다. 평균적으로 맞히는 것은 불편성, 흔들림이 작은 것은 효율성입니다.

문제 2. 두 불편추정량 가운데 분산이 더 작은 쪽을 고르는 기준은 무엇입니까?

둘 다 평균적으로 모수를 맞힌다면 덜 흔들리는 쪽이 더 믿을 만합니다. 이 기준을 효율성이라고 합니다.

문제 3. 모표준편차를 알 때 모평균의 95퍼센트 신뢰구간을 만드는 식으로 옳은 것은?

표본평균의 흔들림은 표준오차로 재므로 1.96 곱하기 표준오차만큼 양쪽으로 벌립니다. 2.58은 99퍼센트 신뢰구간에 쓰는 값입니다.

문제 4. 신뢰수준을 95퍼센트에서 99퍼센트로 올리면 신뢰구간은 어떻게 됩니까?

더 확실하게 모수를 품으려면 그물을 더 넓게 쳐야 하므로 구간이 넓어집니다. 표본평균은 신뢰수준과 상관없이 같습니다.

문제 5. 다른 조건이 같을 때 신뢰구간을 좁히는 방법으로 알맞은 것은?

표본이 커지면 표준오차가 작아져 구간이 좁아집니다. 신뢰수준을 높이거나 흩어짐이 커지면 구간은 오히려 넓어집니다.

문제 6. 신약의 효과를 입증하려는 연구에서 귀무가설로 알맞은 것은?

귀무가설은 차이나 효과가 없다는 기본 가설이고, 입증하고 싶은 "효과가 좋다"는 대립가설로 둡니다. 검정은 귀무가설을 기각할 근거가 있는지를 따집니다.

문제 7. 유의수준 0.05에서 p값이 0.12가 나왔습니다. 옳은 판단은 무엇입니까?

p값이 유의수준보다 크므로 귀무가설을 기각할 근거가 부족합니다. 다만 기각하지 못했다는 것이 귀무가설이 참이라는 증명은 아닙니다.

문제 8. 제2종 오류로 알맞은 상황은 무엇입니까?

제2종 오류는 귀무가설이 거짓인데, 곧 실제로 효과가 있는데 그것을 놓치는 잘못입니다. 효과가 없는데 있다고 하는 것은 제1종 오류입니다.

문제 9. 검정력(power)의 정의로 옳은 것은?

검정력은 실제로 있는 효과를 잡아낼 확률입니다. 제2종 오류 확률 β를 1에서 뺀 값이며, 표본을 키우면 높아집니다.

문제 10. 표본 크기를 그대로 둔 채 유의수준을 0.05에서 0.01로 낮추면 어떤 일이 생깁니까?

기각 기준을 엄격하게 하면 없는 효과를 있다고 할 위험은 줄지만 있는 효과를 놓칠 위험은 커집니다. 둘을 함께 줄이려면 표본을 키워야 합니다.

묶음 3

문제 1. 독립된 두 집단의 평균을 비교하되 두 집단 모두 정규분포를 따른다고 볼 수 있습니다. 알맞은 검정은 무엇입니까?

서로 다른 사람들로 이뤄진 두 집단의 평균 비교는 독립표본 t검정입니다. 같은 사람의 전후 비교라면 대응표본 t검정을 씁니다.

문제 2. 세 개 이상 집단의 평균을 비교하는 모수 검정은 무엇입니까?

셋 이상 집단의 평균 비교에는 분산분석을 씁니다. t검정을 여러 번 되풀이하면 제1종 오류가 쌓여 커지기 때문입니다.

문제 3. 세 지역의 만족도 순위를 비교하려는데 정규성을 가정하기 어렵습니다. 알맞은 검정은 무엇입니까?

셋 이상 집단을 비교하는 비모수 검정이 크루스칼-왈리스 검정입니다. 분산분석과 같은 질문을 순위로 답합니다.

문제 4. 독립된 두 집단을 비교하는 비모수 검정은 무엇입니까?

만-위트니 U검정은 두 독립 집단의 값을 한데 모아 순위를 매긴 뒤 비교합니다. 윌콕슨 부호순위검정은 짝을 이룬 자료에 씁니다.

문제 5. 비모수 검정을 고르는 상황으로 가장 알맞은 것은?

비모수 검정은 분포 가정을 두지 않고 순위나 부호를 쓰므로 표본이 작거나 정규성이 의심될 때 알맞습니다. 정규성이 확실하면 검정력이 높은 모수 검정이 낫습니다.

문제 6. 비모수 검정이 값 대신 흔히 쓰는 정보는 무엇입니까?

비모수 검정은 값의 크기 대신 순서나 양음 부호를 써서 분포 가정에서 자유롭습니다. 그래서 이상값에도 덜 흔들립니다.

문제 7. shapiro.test 결과 p값이 0.001이 나왔습니다. 옳은 해석은 무엇입니까?

샤피로-윌크 검정의 귀무가설은 자료가 정규분포를 따른다는 것입니다. p값이 작으면 이 가설을 기각하므로 비모수 검정을 고려합니다.

문제 8. 성별과 선호 브랜드처럼 두 범주형 변수가 서로 관련 있는지 보는 검정은 무엇입니까?

두 범주형 변수의 교차표에서 관측 빈도와 기대 빈도의 차이를 보는 것이 카이제곱 독립성 검정입니다. t검정과 분산분석은 평균을 비교합니다.

문제 9. 셋 이상 집단의 평균을 비교할 때 두 집단씩 t검정을 여러 번 하지 않는 이유는 무엇입니까?

유의수준 0.05로 검정을 세 번 하면 적어도 한 번 잘못 기각할 확률이 0.05보다 훨씬 커집니다. 분산분석은 한 번의 검정으로 전체를 비교해 이 문제를 피합니다.

문제 10. 추정과 가설검정에 관한 진술로 옳지 않은 것은?

p값은 귀무가설이 맞다고 가정했을 때 지금만큼 극단적인 결과가 나올 확률이지, 귀무가설이 맞을 확률이 아닙니다. 나머지 셋은 옳은 진술입니다.

이전: 5강 표본과 척도 · 다음: 7강 기술통계와 상관분석

이 문서를 언급함

← 데이터분석 5강. 표본과 척도 ← 데이터분석 7강. 기술통계와 상관분석 ← 데이터분석 준전문가 (ADsP)

모던지 · 궁금하면 모던지 GitHub · 2026-09-30