통계학의 가설검정은 차 한 잔에서 시작했습니다. 우유를 먼저 넣었는지 맞힐 수 있다고 주장한 사람이 있었거든요.
풀고 시작
문제 1. 실제로는 참인 귀무가설을 기각해 버리는 오류는?
없는 효과를 있다고 선언하는 것이 제1종 오류이고, 그 확률의 상한이 유의수준입니다. 제2종 오류는 반대로 실제 있는 효과를 놓치는 것이고, 검정력은 그 효과를 제대로 잡아내는 확률입니다.
차 한 잔에서 시작한 검정
1920년대 영국의 한 연구소, 뮤리엘 브리스톨이라는 조류학자가 말합니다. 밀크티는 우유를 먼저 붓느냐 홍차를 먼저 붓느냐에 따라 맛이 다르고, 자신은 그것을 구별할 수 있다고요. 옆에 있던 로널드 피셔가 그 자리에서 실험을 설계합니다. 여덟 잔을 준비하되 넷은 우유가 먼저, 넷은 홍차가 먼저 들어가게 하고, 순서를 섞어 내놓은 뒤 어느 쪽 넷인지 고르게 한 것이죠.
핵심은 계산입니다. 여덟 잔에서 넷을 고르는 경우의 수는 70가지이니, 아무 능력 없이 찍어서 넷을 다 맞힐 확률은 70분의 1입니다. 약 1.4퍼센트죠. 만약 그가 다 맞힌다면, 우리는 "우연히 일어나기엔 너무 드문 일이 일어났다"고 말할 수 있습니다. 이 구조가 그대로 오늘날의 가설검정입니다. 아무 효과가 없다고 가정했을 때 지금 결과가 얼마나 드문 일인가를 재는 것이죠.
분포라는 이름표들
분포
언제
베르누이
성공과 실패, 단 한 번의 시행
이항
성공 확률이 같은 시행을 n번 반복했을 때의 성공 횟수
포아송
정해진 시간이나 공간에서 드물게 일어나는 사건의 횟수
정규
평균 주변에 종 모양으로 몰리는 연속형 값
t
모분산을 모르고 표본이 작을 때의 평균 검정
카이제곱
범주형 자료의 적합도와 독립성
F
두 분산의 비, 분산분석
t분포는 정규분포보다 꼬리가 두껍습니다. 모분산을 몰라 표본으로 대신 추정하는 만큼 불확실성이 더 크고, 그 불확실성이 꼬리의 두께로 나타나는 것이죠. 표본이 커지면 t분포는 정규분포에 가까워집니다.
표본이 모집단을 대신하는 원리
추론통계 전체를 떠받치는 정리가 중심극한정리입니다. 모집단이 어떤 모양이든, 표본 크기가 충분히 크면 표본평균의 분포는 정규분포에 가까워진다는 내용입니다. 원본이 찌그러져 있어도 평균들의 분포는 종 모양이 되니, 정규분포를 전제로 한 도구들을 쓸 수 있게 되죠.
이때 표본평균이 흩어지는 정도를 표준오차라고 하고 모표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값입니다. 분모가 n이 아니라 루트 n이라는 점이 중요합니다. 정밀도를 두 배로 올리려면 표본을 두 배가 아니라 네 배로 늘려야 한다는 뜻이거든요. 데이터를 더 모으는 일의 수익이 점점 줄어드는 이유가 여기 있습니다.
표본을 뽑는 방법도 시험에 나옵니다. 아무렇게나 뽑는 단순 무작위 추출, 일정 간격으로 뽑는 계통 추출, 집단을 성별이나 연령대로 나눈 뒤 각 층에서 뽑는 층화 추출, 지역처럼 이미 묶인 덩어리를 통째로 뽑는 군집 추출입니다. 층화와 군집을 헷갈리기 쉬운데, 층화는 모든 층에서 조금씩 뽑고 군집은 몇몇 덩어리를 통째로 뽑습니다.
추정과 검정
점추정은 값 하나로 답하는 것이고, 구간추정은 범위로 답하는 것입니다. 95퍼센트 신뢰구간의 뜻은 자주 오해됩니다. 정확한 해석은 "같은 방식으로 표본을 반복해 뽑아 구간을 만들면 그중 95퍼센트가 참값을 포함한다"입니다. 지금 이 구간 안에 참값이 있을 확률이 95퍼센트라는 말이 아닙니다.
검정의 절차는 늘 같습니다. 귀무가설과 대립가설을 세우고, 유의수준을 정하고, 검정통계량을 계산하고, p값과 비교해 결론을 냅니다. p값은 귀무가설이 참이라고 가정했을 때 지금 관측된 것만큼 극단적인 결과가 나올 확률입니다. 귀무가설이 참일 확률이 아닙니다. 이 둘을 바꿔 읽는 것이 통계에서 가장 흔한 오해이고 시험도 그 지점을 노립니다.
두 종류의 오류는 저울의 양쪽입니다. 유의수준을 낮춰 제1종 오류를 줄이면 제2종 오류가 늘어납니다. 없는 효과를 선언하지 않으려고 조심할수록, 있는 효과를 놓칠 위험이 커지는 것이죠. 어느 쪽 실수가 더 비싼지는 통계가 아니라 문제 상황이 정합니다.
인출 문제
문제 1. p값에 대한 설명으로 옳은 것은?
p값은 가설의 확률이 아니라 데이터의 확률입니다. 귀무가설을 전제로 지금 결과가 얼마나 드문지를 재는 값이며, 효과가 얼마나 큰지에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다.
문제 2. 중심극한정리의 내용으로 옳은 것은?
원래 분포가 치우쳐 있어도 평균들의 분포는 종 모양에 가까워진다는 것이 요점입니다. 모집단 자체가 변하는 것이 아니라 표본평균이라는 통계량의 분포가 정규에 근사하는 것입니다.
문제 3. 표준오차가 모표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값이라는 사실이 실무에 주는 함의는?
분모가 표본 크기의 제곱근이므로 표준오차를 절반으로 줄이려면 표본을 네 배로 늘려야 합니다. 데이터를 더 모을수록 얻는 이득이 점점 줄어든다는 뜻이며, 수집 비용을 판단할 때 근거가 됩니다.
문제 4. 전국 조사에서 연령대별 비율을 유지하기 위해 각 연령대에서 정해진 수만큼 표본을 뽑았습니다. 어떤 표본추출인가요?
모집단을 성격이 비슷한 층으로 나눈 뒤 각 층에서 표본을 뽑는 것이 층화 추출입니다. 군집 추출은 지역처럼 이미 묶인 덩어리 몇 개를 통째로 선택해 그 안을 조사하는 방식이라 층마다 뽑는 방식과 다릅니다.
더 풀기
출제기준의 세세항목을 따라 이 강의 범위에서 새로 낸 문제입니다. 표본추출과 표본분포도 여기에 함께 담았습니다.
묶음 1
문제 1. 모집단에서 표본을 뽑을 때 모든 개체가 뽑힐 확률이 같도록 하는 방법은?
명부에서 무작위로 뽑아 모든 개체의 선택 확률을 같게 하는 것이 단순 무작위 추출입니다.
문제 2. 명부에서 일정한 간격으로 뽑는 표본추출 방법은?
첫 번째만 무작위로 정하고 그 뒤로 같은 간격으로 뽑습니다. 명부에 주기성이 있으면 편향이 생길 수 있습니다.
문제 3. 모집단을 성별이나 연령 같은 집단으로 나눈 뒤 각 집단에서 표본을 뽑는 방법은?
층 안은 동질적이고 층 사이는 이질적일 때 효율이 좋아집니다. 집단별 대표성도 확보됩니다.
문제 4. 군집 추출과 층화 추출의 차이로 옳은 것은?
층화는 층마다 표본을 뽑고, 군집은 군집 단위를 뽑아 그 안을 전수 또는 표본 조사합니다.
문제 5. 중심극한정리가 말하는 바로 가장 알맞은 것은?
모집단의 분포와 무관하게 표본평균의 분포가 정규에 가까워진다는 것이 핵심입니다.
문제 6. 표본평균의 표준오차에 대한 설명으로 옳은 것은?
모표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값이므로 표본이 커지면 줄어듭니다.
문제 7. 표본 크기를 4배로 늘리면 표준오차는 어떻게 변하나요?
제곱근에 반비례하므로 4의 제곱근인 2로 나뉩니다. 정밀도를 두 배로 올리려면 표본을 네 배로 늘려야 합니다.
문제 8. 베르누이 시행에 해당하는 것은?
성공과 실패 두 결과만 있는 한 번의 시행이 베르누이 시행입니다.
문제 9. 정해진 시간이나 공간에서 드물게 일어나는 사건의 횟수를 다루는 분포는?
콜센터의 시간당 문의 건수처럼 드문 사건의 횟수에 씁니다. 사건 사이의 대기 시간은 지수분포가 다룹니다.
문제 10. 이항분포가 정규분포로 근사되기 위한 조건으로 가장 알맞은 것은?
시행 횟수와 확률의 곱이 충분히 클 때 근사가 잘 됩니다.
문제 11. 모분산을 모르고 표본이 작을 때 평균에 대한 검정에 쓰는 분포는?
표본표준편차로 대신하는 데 따르는 추가 불확실성을 반영한 것이 t분포입니다. 자유도가 커지면 정규분포에 가까워집니다.
문제 12. 두 집단의 분산이 같은지 검정할 때 쓰는 분포는?
두 분산의 비를 다루므로 F분포를 씁니다. 분산분석에서도 같은 분포가 쓰입니다.
묶음 2
문제 1. 점추정과 구간추정의 차이로 옳은 것은?
구간추정은 추정의 불확실성을 함께 전달한다는 점에서 더 많은 정보를 줍니다.
문제 2. 95퍼센트 신뢰구간의 올바른 해석은?
확률은 구간을 만드는 절차에 붙습니다. 이미 계산된 하나의 구간은 모수를 포함하거나 포함하지 않거나 둘 중 하나입니다.
문제 3. 신뢰수준을 95퍼센트에서 99퍼센트로 올리면 신뢰구간의 폭은?
더 확실하게 담으려면 더 넓게 잡아야 합니다. 확신과 정밀도는 맞바꿈 관계입니다.
문제 4. 귀무가설에 대한 설명으로 옳은 것은?
기각하지 못했을 때 참이라고 증명된 것은 아니며 판단을 유보한 것입니다.
문제 5. 제1종 오류에 해당하는 것은?
효과가 없는데 있다고 결론 내리는 오류이며 그 확률이 유의수준입니다.
문제 6. 제2종 오류를 줄이는 방법으로 가장 알맞은 것은?
표본이 커지면 검정력이 올라 실제 차이를 놓칠 확률이 줄어듭니다. 유의수준을 낮추면 오히려 제2종 오류가 늘어납니다.
문제 7. 검정력의 정의로 옳은 것은?
1에서 제2종 오류 확률을 뺀 값입니다. 있는 효과를 찾아낼 능력을 뜻합니다.
문제 8. p값의 올바른 해석은?
p값은 가설의 확률이 아니라 데이터의 확률입니다. 효과의 크기도 알려 주지 않습니다.
문제 9. p값이 작다는 것이 뜻하지 않는 것은?
표본이 크면 아주 작은 차이도 유의해집니다. 그래서 효과크기를 함께 보고해야 합니다.
문제 10. 단측검정과 양측검정의 선택 기준으로 가장 알맞은 것은?
크다 또는 작다는 방향이 미리 정해져 있으면 단측, 다르다만 주장하면 양측입니다. 결과를 보고 바꾸면 안 됩니다.
문제 11. 유의수준 0.05에서 p값이 0.03일 때의 결론으로 옳은 것은?
p값이 유의수준보다 작으므로 귀무가설을 기각합니다. 다만 실질적 중요성은 별도로 판단해야 합니다.
문제 12. 다중 비교를 할 때 유의수준을 조정하는 이유로 가장 알맞은 것은?
스무 번 검정하면 하나쯤은 우연히 유의해집니다. 본페로니 교정 등으로 통제합니다.
묶음 3
문제 1. 두 독립 집단의 평균 차이를 검정할 때 쓰는 방법으로 가장 알맞은 것은?
서로 다른 두 집단이면 독립표본 t검정입니다. 같은 대상의 전후 비교라면 대응표본 t검정을 씁니다.
문제 2. 세 집단 이상의 평균을 한꺼번에 비교할 때 쓰는 방법은?
t검정을 반복하면 제1종 오류가 누적됩니다. 분산분석으로 한 번에 검정한 뒤 사후검정으로 어느 쌍인지 찾습니다.
문제 3. 분산분석에서 F통계량이 크다는 것은 무엇을 뜻하나요?
집단 간 차이가 잡음보다 두드러질수록 F값이 커집니다.
문제 4. 범주형 두 변수의 독립성을 검정하는 방법은?
분할표의 관측빈도와 기대빈도의 차이를 이용합니다.
문제 5. 카이제곱 검정을 쓰기 위한 조건으로 가장 알맞은 것은?
기대빈도가 5 미만인 칸이 많으면 근사가 나빠집니다. 이때는 피셔의 정확검정을 씁니다.
문제 6. 비모수 검정을 쓰는 상황으로 가장 알맞은 것은?
분포에 대한 가정을 적게 두는 대신 검정력이 다소 낮아집니다.
문제 7. 두 독립 집단의 중앙값 비교에 쓰이는 비모수 검정은?
순위를 이용해 두 집단의 분포 위치 차이를 검정합니다. 대응 자료라면 윌콕슨 부호순위 검정을 씁니다.
문제 8. 세 집단 이상의 비모수 비교에 쓰이는 검정은?
분산분석의 비모수 대응 방법입니다. 순위합을 이용해 집단 간 차이를 봅니다.
문제 9. 정규성 검정 방법으로 가장 알맞은 것은?
샤피로 윌크와 콜모고로프 스미르노프가 정규성 검정의 대표입니다.
문제 10. 표본이 매우 클 때 정규성 검정에서 주의할 점으로 가장 알맞은 것은?
통계적 유의성과 실질적 중요성이 갈리는 대표적 사례입니다. 그림을 함께 봐야 합니다.
문제 11. 베이지안 추론의 특징으로 가장 알맞은 것은?
사전분포와 가능도를 결합해 사후분포를 만드는 것이 핵심입니다. 빈도주의는 모수를 고정으로 봅니다.